eishockeypucks aufgabe brauche bitte eure hilfe

Question

(durchmesser 7,62 cm und Höhe 2,54 cm)
a) Zwölf Pucks sollen in einer Schachtel mit quadtratischen Grundfläche verkauft werden. In einer Schachtel liegen je vier Pucks in drei Schichten übereinander. Wenn die Pucks in der Schachtel liegen, bleibt ein Volumenanteil an Luft in der Schachtel. Bestimme das Volumen der Luft in der Schachtel. Gib diesen Anteil am gesamten Schachtelvolumen in Prozent an.

b)Das sportgeschäft möchte die Puckschachteln übereinander stapeln, und war auf einem kreisförmigen dorn 

Bestimmen sie den maximalen durchmesser, den ein dorn haben kann, wenn er noch durch diese schachteln passen soll.

c) der Sachverhalten aus Aufgabe b) soll nun in einer ebene verallgemeinert werden. Du siehst jeweils ein Quader in das ein kreis vier und neun kreise einbeschrieben sind. Stelle dir vor, dass in dem quadrat n²  kreis entsprechend einbeschrieben sind 

Zeigen, dass der vor den Kreisen nicht bedeckte Anteil der quadrate immer der gleiche ist.

Answer 1

Hallo Maron,

a) und c)

Jeder Puck mit dem Radius r "blockiert" auf der Grundfläche der Schachtel eine Quadratfläche A_B  mit der Kantenlänge 2r. 

Das ergibt eine freie Fläche A_F = (2r)² - π r²  =  4 r² - π r²  =  (4 - π) · r²  ≈  0,858 r²

Der prozentuale Anteil der freien Fläche ist also  0,858 r² / (π r²)  ≈  0,273  = 27,3 %

Das Luftvolumen beträgt deshalb ebenfalls  27,3 %, weil bei Luftanteil und Puck einfach mit h multipliziert wird.

b) 

x ist der Radius des kleinen Kreises in der Mitte des gegebenen Bildes.

d die Diagonale des Quadrats.

d² = (2r)² + (2r)² = 8r²  →  d = √8 ·r  = 2r + 2x  

                              →  x = 1/2 · (√8 - 2 ) · r  =  (√2 - 1) · r   ≈  0,414 r   

 Gruß Wolfgang