Berechnung der Logarithmusfunktionen Aufgabe 1 und 2

Question

Hallo und Guten Morgen/ Tag Liebe Community und Helfer,

ich habe wieder ein größeres Problem. Ich (bzw. wir die Klasse) habe eine Mathe Hausaufgabe zu Montag zum Thema Logarithmusfunktionen aufbekommen. Ich finde da leider überhaupt nicht rein. Angedacht wäre es gewesen, dass ich zu meiner Mathe Nachhilfe ginge, die hat sich nun aber eine schwere Grippe eingefangen. Und nun steh' ich da und verzweifle an dieser Aufgabe, die ich am Montag einreichen muss.
Können Sie/ ihr mir bitte weiterhelfen, bitte

Die Aufgabe lautet:
Aufg. 1: Gegeben sei f ( x ) = x² * ( ln x - 1 ), x > 0. Mithilfe eines Funktionsplotters wurde der abgebildete Graph von f erstellt. Folgende Fragen bleiben offen:
a) die exakte Lage der Nullstelle, des Tiefpunktes, des Wendepunktes. b) das Steigungsverhalten von f bei der rechtsseitigen Annäherung an die Stelle x = 0.
Versuchen Sie die Fragen zu klären.

Aufg. 2: Gegeben sei wieder (gleiche Funktion wie in Aufg. 1)
a) Wie lautet die Gleichung der Wendetagente? b) Welche Steigung liegt in der Nullstelle vor, wie groß ist der Steigungswinkel? c) Zeigen Sie, dass F ( x ) = 1/3 x³ * ( ln x - 4/3) + C eine Stammfunktion von f ist. d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f, der x-Achse und den senkrechten Geraden x = 1 und x = e im 4. Quadranten eingeschlossen wird.


Die Graphik aus Aufg. 1 versuche ich noch beizufügen. Falls es nicht klappen sollte, ist das für die Aufgabe soweit ich das mit meinem Unverständnis überblicken kann, nicht so wichtig.

(Falls jmd. das Buch "Bigalke/Köhler: Mathematik - Allgemeine Ausgabe/ Band 1 - Analysis/ Lösungen zum Schülerbuch" hat, kann er auch bitte nach den Lösungen schauen (eventuell ist es für die Seite 347, ansonsten Kapitel 2. Logarithmusfunktionen mit der Überschrift "Übungen".)


und noch ein wunderschönes, frühlingshaftes Wochenende.  

Answer 1

f ( x ) = x² * ( ln (x) - 1 )

die exakte Lage der Nullstelle

x² * ( ln x - 1 ) = 0 

<=>  x=0 v  ln (x) = 1 

wegen x>0 (s.o.) nur  ln(x) = 1 <=>  x = e

 des Tiefpunktes;  f ' (x) = x*( 2ln(x) - 1 ) = 0

                            x = 0  (s.o.) oder  ln(x) = 1/2 

                                                                 x = √e

, des Wendepunktes  f ' ' (x) = 2 ln(x) + 1 = 0

                                      < = >    ln(x) =  -1 / 2 

                                      < = >    x = 1 / √e   ==>  W = ( 1 / √e  ;   -3 / (2e) )

. b) das Steigungsverhalten von f bei der rechtsseitigen Annäherung an die Stelle x = 0.

lim (für x gegen 0 ) von  x*( 2ln(x) - 1 ) ist vom Typ  0 * ( - ∞ ) also 

mittels de Hospital nach Umformung 

                           ( 2ln(x) - 1 )    /    ( 1/x)   [ Jetzt Typ ( - ∞ ) / ∞ ] 

also zu betrachten    ( 2/x )  /  (  -1 / x^2 )   =  - 2x^2 / x  = -2x  

Und für x gegen 0 geht das gegen 0.

In der Nähe von 0 ist der Graph also fast waagerecht.

2.  a) Wie lautet die Gleichung der Wendetagente?

m = f ' (1 / √e) =  -2 / √e   mit W und y = mx+n gibt das 

                  -3/2e =  (-2 / √e) * (1 / √e) + n

                   -3/2e =  -2 / e  + n

                          1/2e =  n  ==>  t_w : y = (-2 / √e) * x +    1/(2e) 

              

                     

b) Welche Steigung liegt in der Nullstelle vor, wie groß ist der Steigungswinkel?

                 f ' ( e) = e  ==>  tan(α)= e = 2,72 ==>  α = 69,8°

c) Zeigen Sie, dass F ( x ) = 1/3 x³ * ( ln x - 4/3) + C eine Stammfunktion von f ist.

              zeige:  F ' (x) = f(x) 

d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f, der

x-Achse und den senkrechten Geraden x = 1 und x = e im 4. Quadranten eingeschlossen wird.

$$ \int_{1}^{e} f(x)dx = F(e) - F(1) =$$

= 4/9-e^3/9 ≈ -1,787 .  Also Flächenmaßzahl 1,787 . 

Answer 2

Aufg. 1: Gegeben sei f ( x ) = x² * ( ln x - 1 ), x > 0. Mithilfe eines Funktionsplotters wurde der abgebildete Graph von f erstellt. Folgende Fragen bleiben offen:
a) die exakte Lage der Nullstelle, des Tiefpunktes, des Wendepunktes. b) das Steigungsverhalten von f bei der rechtsseitigen Annäherung an die Stelle x = 0.
Versuchen Sie die Fragen zu klären.

f ( x ) = x^2 * ( ln x - 1 )
Satz vom Nullprodukt anwenden
x^2 = 0  => x = 0
und
ln (x) - 1 = 0
ln(x) = 1  | e hoch
x = e ^{1}
x = e

N ( 0 | 0 )
N ( e | 0 )

1.Ableitung
( u * v ) ´= u´* v + u * v´
u = x^2
u ´= 2x
v = ln(x) - 1
v ´= 1/x
2x * ( ln x - 1 ) + x^2 * 1/x
2x * ( ln x -1 ) + x
x * ( 2*ln x - 2 + 1 )
f ´( x ) = x * ( 2 * ln x  -1 )

Stelle mit waagerechter Tangente
x * ( 2 * ln x  -1 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
2 * ln x  -1 = 0
2 * ln x = 1
ln ( x ) = 1 /2  | e hoch
x = e ^{1/2}

( √ e | e * (ln(√e  - 1) )
( 1.65 | - e/2 )

2.Ableitung
f ´´( x ) = 2 * ln(x) + 1
Wendepunkt
2 * ln(x) + 1 = 0
ln(x) = -1/2
x = e ^{-1/2};
W ( e ^{-1/2}  | f (e ^{-1/2}) )

Soviel zunächst.

Comments

Bedenke: Definitionsbereich x>0. Also nur eine Nullstelle.

---

Stimmt. Danke für den Hinweis.

---

Danke @Georg Born und @Mathef. Ich habe mir das notiert und versucht  nach zu vollziehen/ zu verstehen. Wie geht es denn jetzt weiter?

Und zu der Nullstelle (0/0) ist das die einzige und die zweite stimmt nicht oder?

---

Umgekehrt.
Def Bereich x > 0 da ln(0) nicht definiert.

hast du meine Antwort a.) komplett verstanden ?

Falls nicht dann nachfragen.
b.)
mathef hat schon eine Antwort gegeben.
Auch wieder : bitte bei mir oder mathef nachfragen.

---

Entschuldige bitte, aber ich komme mit deiner Berechnung (oder Tipp?) für Aufgabe 2 im Allg. nicht zurecht. Kannst Sie/ Ihr mir das bitte nochmal erklären?

Aufgabe 1 war für mich jetzt soweit nachvollziehbar, weil ich das so in der Art mit 1. und 2. Ableitung u. co. kannte, bloß nicht mit dem Logarithmus.

Liebe Grüße,

---

1.) Entschuldigen brauchst du dich nicht.
JEDERMANN kann hier im Forum Mathefragen
stellen.
JEDERMANN kann diese beantworten.

Aufgabe 2.) habe ich noch nicht beantwortet.
Das hat Mathef bereits gemacht.

Ableitungsregel für den ln
[ ln term ] ´ = ( term ´) / term

Aufg. 2: Gegeben sei wieder (gleiche Funktion wie in Aufg. 1)
a) Wie lautet die Gleichung der Wendetagente?

Für den Berührpunkt einer Tangente gilt
f ( x ) = t ( x )  | Koordinaten gleich
f ´ (x ) = t ´ ( x )  | Steigung gleich

W ( 1 / √ e | 1 - 1/ e )
W ( 0.607 | -0.552 )

f ´(  1 / √ e ) = -1.213

t ( x ) = m * x + b
t ( 1 / √ e ) = -1.213 * x + b

-0.552 = -1.213 * 1 / √ e + b
b = 0.184

Wendetangente
t ( x ) = -1.213 * x + 0.184
Das Ergebnis wurde graphisch überprüft

b) Welche Steigung liegt in der Nullstelle vor, wie groß ist der Steigungswinkel?

N ( e | 0 )
f ´( e ) = x * ( 2 * ln x  -1 ) = 2.718

arctan(2.718) = 69.8 °

c) Zeigen Sie, dass F ( x ) = 1/3 x³ * ( ln x - 4/3) + C eine Stammfunktion von f ist.
Der Beweis ist am einfachsten wenn man
die Stammfunktion wieder ableitet.

d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f, der x-Achse und den senkrechten Geraden x = 1 und x = e im 4. Quadranten eingeschlossen wird.

1/3 x^3 * ( ln x - 4/3) + C - ( 1/3 x^3 * ( ln x - 4/3) + C )
1/3 e^3 * ( ln e - 4/3) - 1/3 1^3 * ( ln e - 4/3)

A = abs ( - 1.787 )

---

Aufgabe 2 ist also gar nicht so viel selbst zu errechnen, sondern eher mit dem Taschenrechner zu erarbeiten? 

---

Du mußt wissen was du tust.

Zum Ausrechnen kannst du dann auch den Taschenrechner oder ein Matheprogramm nutzen

Insgesamt halte ich die Aufgabe für umfangreich
und anspruchsvoll.

Bei der Stammfunktion mußte man erkennen
das es wesentlich einfacher ist die Stammfunktion
abzuleiten als die Stammfunktion selbst aufzustellen.

---

Ich bin jetzt bis zu 2c) gekommen. Wie zeige ich das mit der Stammfunktion, wie geht das? Bin gerdae echt out of order, sorry. Sorry für diese dummen Fragen!

---

Sorry für diese dummen Fragen!
Du brauchst dich nicht zu entschuldigen.
Dich auf eine andere Mathestufe zu beamen
dazu ist das Forum da.

Stammfunktion
F ( x ) = 1/3 * x^3 * ( ln x - 4/3) + C
( die 1/3 lasse ich erst einmal weg )

Produktregel anwenden
u = x^3
u ´= 3 * x^2
v = ln ( x ) - 4/3
v ´ = 1/x

( u * v ) ´= u´ * v + u * v ´
3 * x^2 * ( ln x - 4 / 3 )  +  x^3 * 1/ x
3 * x^2 * ( ln x - 4 / 3 )  +  x^2
3 * x^2 * ( ln x - 4/3 + 1/3 )
3 * x^2 * ( ln x  - 1 )
Die 1/3 als konstanter Faktor der
Stammfunktion wieder hinzu
1/3 * 3 * x^2 * ( ln x  - 1 )
F ´( x ) = f ( x ) = x^2 * ( ln - 1 )

Answer 3

     Als Erstes schauen wir uns doch mal an, was für x ===>  0  passiert. Der von mir eingeführte Trick; substituiere

       ln  (  x  )  =:  -  z     ===>  z  >  0       (  1a  )

      In ( 1a ) tragen wir dem Umstand Rechnung, dass die Logaritmusfunktion negativ wird in dem intressierenden Bereich x < 1  . Dann folgt aus ( 1a )

       x  =  exp  (  -  z  )       (  1b  )

    Beachten wir in ( 1a ) , wenn x gegen Null geht, geht z gegen ( + °° )

       x  ²  ln  (  x  )  =  -  z  exp  (  -  2  z  )       (  1c  )

    Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel

     " Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

    Der Grenzwert ist Null, genau genommen ( - 0 )  ,weil ja die Funktion links von x = 1 negativ wird. Ihre Nullstelle ist x0 = e .  An sich erwarte ich nur ein Minimum links von dieser Nullstelle e und keinen WP ;  erste Ableitung mittels Produktregel

       f  (  x  )  =  x  ²  [  ln  (  x  )  -  1  ]         (  2a  )

      f  '  (  x  )  =  2  x  [  ln  (  x  )  -  1  ]  +  x  ²  *  1 / x  =  0      (  2b  )

                       ln  x  (  min  )  =  1/2  ===>    x  (  min  )  =  sqr ( e )     (  2c  )

       Die ===> Leibnizregel, eine verallgemeinerte  Produktregel, erlaubt dir die 4 711. Ableitung von ( 2a ) zu ermitteln, ohne vorher über die ersten 4 710 Ableitungen gehen zu müssen. Im Prinzip funktioniert Leibniz wie der ===> binomische Lehrsatz; für 2. Ableitung hast du demnach

     (  u  v  )  "  =  u  "  v  +  2  u  '  v  '  +  u  v  "     (  3a  )

    f  "  (  x  )  =  2  [  ln  (  x  )  -  1  ]  +  2  *  2  -  1  =  2  ln  (  x  )  +  1  =  0    (  3b  )

     x  (  w  )  =  1 /  sqr ( e )      (  3c  )

   dieser WP ist eindeutig dem Umstand geschuldet, dass x = 0 mit seiner horizontalen Tangente ein Quasimaximum darstellt ( Echte lokale Extremata liegen immer im Inneren eines ( offenen ) Gebietes. )  Zwischen Maximum und Minimum nuss stets ein WP liegen.