Injektivität zeigen Tranformation Zylinderkoordinaten

Question

folgende Aufgabe: 

In der Lösung wird das durch eine "wohldefinierte Umkehrabbildung" gezeigt. Ich frage mich aber ob ich das auch "nach Schema F" zeigen kann.

Mein Ansatz wäre:

(I.) r₁cos(φ₁)=r₂cos(φ₂)

(II.) r₁sin(φ₁)=r₂sin(φ₂)

(III.) z₁=z₂

Mit III. ist ja schon die Identität von z gezeigt?

Kann ich dann mit der Länge des Vektors [=√(r²+z²)] und III. auch schon r1=r2 zeigen? Oder habe ich dann durch das Wurzel ziehen nur ±r1=±r2 und komme nicht weiter?

Ist wenn ich r1=r2 zeige φ1=φ2 trivial oder kommt mir da noch die Periodizität von sin bzw. cos in die Quere?

Answer 1

Zylinderkoordinaten heisst, man benutzt in der \(xy\)-Ebene Polarkoordinaten und laesst \(z\) unveraendert stehen. Wenn \(P\) die Polarkoordinatenabbildung ist, dann hat man \(T(r,\varphi,z)=(P(r,\varphi),z)\). Es gilt dann $$T(r_1,\varphi_1, z_1)=T(r_2,\varphi_2, z_2)\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\, P(r_1,\varphi_1)=P(r_2,\varphi_2)\,\,\,\wedge\,\,\,z_1=z_2.$$ Ueber Polarkoordinaten sollte man an dieser Stelle schon Bescheid wissen und dieses Wissen einfach benutzen. Der Beweis dafuer, dass \(P\) auf \((0,\infty)\times[0,2\pi)\) injektiv ist, geht nicht so hemdsaermlig, wie Du das da vorschlaegst.

Comments

Ok, hatte ich fast erwartet dass das nicht so einfach geht ... meine Motivation war eine Methode zu haben falls die Aufgabenstellung variiert.

Kannst du mir noch einen Tipp geben inwiefern ich den gegebenen Lösungsvorschlag (s.u.) adaptieren kann? Also kann in welchen Fällen kann ich mir so eine Umkehrabbildung ausdenken und wann nicht?

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Es gibt eine ganze Reihe von Kriterien für Injektivitaet. Hier stehen ein paar:

https://de.wikipedia.org/wiki/Injektive_Funktion#Eigenschaften

Benutzen tut die Musterloesung das mit der Linksinversen. Kann man machen, wenn man eine angeben kann. Wobei das mit dem Winkel \(\sphericalangle(x,y)\) ziemlich schlampig ausgefuehrt ist; naemlich eigentlich gar nicht.

Ich wuerde wie gesagt empfehlen, die Injektivitaet der Zylinderkoordinatenabbildung auf die Injektivitaet der Polarkoordinatenabbildung zurueckzufuehren, die schon bekannt sein muss. Wurde wahrscheinlich so schlampig begruendet wie oben und muss nicht nochmal ausgefuehrt werden (es wird dadurch nicht besser).