Zylinderkoordinaten heisst, man benutzt in der \(xy\)-Ebene Polarkoordinaten und laesst \(z\) unveraendert stehen. Wenn \(P\) die Polarkoordinatenabbildung ist, dann hat man \(T(r,\varphi,z)=(P(r,\varphi),z)\). Es gilt dann $$T(r_1,\varphi_1, z_1)=T(r_2,\varphi_2, z_2)\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\, P(r_1,\varphi_1)=P(r_2,\varphi_2)\,\,\,\wedge\,\,\,z_1=z_2.$$ Ueber Polarkoordinaten sollte man an dieser Stelle schon Bescheid wissen und dieses Wissen einfach benutzen. Der Beweis dafuer, dass \(P\) auf \((0,\infty)\times[0,2\pi)\) injektiv ist, geht nicht so hemdsaermlig, wie Du das da vorschlaegst.