Partielle Differentialgleichungen mit Matrix

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das partielle Differentialgleichungssystem

\(v_t=\left(\begin{matrix}1&4\\2&3\end{matrix}\right)v_x, v(x,0)=\left(\begin{matrix}x+1\\-2x+3\end{matrix}\right),x\in\mathbb{R}\)

mittels Transformation der Matrix in Diagonalgestalt.

Answer 1

Es steht doch da. Eine lineare Transformation \(v=Tw\) sollst Du machen. Das wirst Du jetzt in die Gleichung eintragen muessen, um eine für \(w\) zu bekommen.

Comments

Kannst du mir das ein wenig genauer erklären ?

Uns wurde das eigentlich überhaupt nicht erklärt.

Kam letztes Semester dran und die Studenten wurden überrascht

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Du willst ernsthaft wissen, wie man \(v=Tw\) in \(v_t=Av_x\) einsetzt und was da rauskommt??

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Ich verstehe nicht was ich genau wo einsetzen muss?

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Bist Du Dir sicher, dass Du Dich ausgerechnet mit partiellen Dgln beschaeftigen musst, wenn Du nicht mal eine simple Substitution durchfuehren kannst? Du sollst in \(v_t=Av_x\) das \(v\) durch \(Tw\) ersetzen. Selbst wenn man keine Ahnung hat, was man da macht und schlicht nach den Zeichen geht, kommt mit \(Tw_t=ATw_x\) das Richtige bei raus.

Um der Sache die Krone aufzusetzen, musst Du jetzt noch fragen: Und was bringt mir das?

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Ich verstehe das auch nicht und frage mich auch was das bringt :)

Du nennst die Matrix A

A = [1, 4; 2, 3]

Dann ist die Diagonalform der Matrix

D = [- 1/3, 1/3; 1/3, 2/3]·[1, 4; 2, 3]·[-2, 1; 1, 1] = [-1, 0; 0, 5]

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Es bringt \(w_t=T^{-1}ATw_x=Dw_x\) oder in Komponenten geschrieben mit Deinen Werten \(\partial_tw_1=-\partial_xw_1\) und \(\partial_tw_2=5\partial_xw_2\). In Worten: Die Gleichungen für \(w_1\) und \(w_2\) werden entkoppelt. Die Loesungen sind \(w_1=f_1(x-t)\) und \(w_2=f_2(x+5t)\) mit beliebigen differenzierbaren Funktionen \(f_1\) und \(f_2\).