Vielleicht findest du ja einen Weg über ein LGS ; ich gehe über die Eigenwerte. Deine Matrix ist ====> Hermitesch und vom Rang 1 . Von Daher ist klar; Der einzige Bildvektor muss sein
e1 = ( 1 | 1 ... | 1 ) ( 1 )
Du kannst asuch explizit nachrechnen, dass Vektor ( 1 ) Eigenwert n hat. Damit muss aber Eigenwert 0 ( n - 1 ) fach entartet sein; beachte: Die Spur der Matrix gibt tatsächlich n.
Was wir brauchen, sind ( n - 1 ) Kernvektoren
e2 = ( 1 | - 1 | 0 .... | 0 ) ( 2a )
e3 = ( 1 | 0 | - 1 | ... 0 ) ( 2b )
...
e_n = ( 1 | 0 | 0 .... | - 1 ) ( 2c )
Es gibt zwei alternative Argumentationsweisen, Entweder rechnesr du explizit nach, dass e2 , ... , e_n im Kern liegen. Oder du gehst davon aus, dass H Hermitesch ist, d.h. der Kern muss senkrecht stehen auf e1 . Es ist aber das Selbe in Grün; es kriegt nur ein anderes Schild umgehängt.
Doch noch sind wir nicht fertig; es ist nämlich zu zeigen, dass ( 2a-c ) tatsächlich eine Basis des Kerns bilden.
Frankfurt war vielleicht nicht gut, aber immerhin besser als sein Ruf. Aber was ich in Wiki fand als Definition des Begriffs Basis, finde ich der Art brillant, dass ich euch hiermit auffordere: Lernt es AUSWÄNDIG . Nähere Erläuterungen zu den Begriffen so wie Beweise - alles in Wiki
SATZ und DEFINITION
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Ein System von Vektoren heißt Basis, wenn eine der vier folgenden Aussagen zutrigfft:
1) Eindeutig Erzeugendes
2) minimales "
3) linear unabhängiges "
4) maximal " "
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Manxhmal lässtr sich ein Kriterium sehr leicht nachprüfen, während andere Aussagen höllisch schwer werden. Für uns ist Punkt 4 der geeignete; maximal linear Unabhängiges.
Der Kern ist ein Unterraum der Dimension ( n - 1 ) Hätten wir n oder gar noch mehr Vektoren gegeben, so können diese keine Basis blden, weil wir sicher sind: Sie sind linear abhängig. Wären es dagegen weniger als n - 1 , so sind sie entweder linear abhängog oder selbst wenn sie unabhängig sind, nicht maximal linear unabhängig. Denn wir können ja stets ( n - 1 ) Basisvektoren finden.
Der Nachweis der Basis ist also erbracht, wenn sich e2 , ... , e_n als linear unabhängig heraus stellen. Wenn wir das LGS Komponenten weise notieren
ß2 e2 + ß3 e3 + ... + ß_n e_n = 0 ( 3a )
ß2 + ß3 + ..... + ß_n = 0 ( 3b )
- ß2 = 0 ( 3c )
- ß3 = 0 ( 3d )
.
.
.
- ?_n = 0 ( 3e )
