Volumen einer Parabel berechnen? Kanal der Länge 2 km.

Question

gegeben ist eine Parabelzeichnung, aus der ich die Funktion 1/8x^2 herausgefunden habe. Der Flächeninhalt beträgt 5,33 FE zwischen -4 und 4. Wie kann ich nun jedoch das Volumen bestimmen? Wäre es das Integral * pi?

Bitte gebt mir keine direkten Antworten! :)

Der Kanal

Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel. Dabei entspricht eine Längeneinheit in der Realität einem Meter.

a) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnittsfläche eines solchen Kanals. [10,67 m^2]

b) Wie viel Wasser befindet sich im Kanal, wenn er ganz gefüllt ist? [21333 m^3]

c) Wie viel Prozent der maimalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur bis zur halben Höhe gefüllt ist? [35,36 %]

$$ \begin{array}{l}{\text { Durch Ablesen: } S(0|0) \text { ; P }(-4 / 2) \text { ; } Q(4 | 2)} \\ {\text { S, } \operatorname{in} f(x)} \\ {f(x)=a(x-0)^{2}-0} \\ {f(x)=a\left(x^{2}\right)} \\ \text{P in }f(x) \\ 2= a \cdot\left(4^{2}\right)  \\ 2= 16 a \quad |: 16 \\ \frac{1}{8}={a} \\ {f(x)=\frac{1}{8} x^{2}}\end{array} $$

Comments

Zunächst solltest du bedenken, dass du mit dem Integral die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse bestimmst. D.h. Du hast noch nicht die Querschnittsfläche vom Kanal bestimmt.

Answer 1

b) So sieht ein Kanal aus: https://de.wikipedia.org/wiki/Kanal_(Wasserbau)

5,33 FE  Das sind gemäss Aufgabenstellung m^2. Hier musst du noch genauer rechnen, wenn das Mathe ist (mehr Stellen angeben oder mit Dritteln rechnen).

Nun ist der Kanal 2km = 2000m lang.

Rechne V = 5,33 m^2 * 2000 m = ...... m^3

Nun (freiwillig) noch umrechnen in z.B. Liter. Da gilt 1 dm^3 = 1 Liter. ==> 1 m^3 = (10 dm)^3 = 1000 dm^3 = 1000 Liter. D.h. Resultat bei V mit 1000 multiplizieren und Liter daneben schreiben.

Answer 2

Ich benutze hier mal ganz frech die Flächenformel einer Parabel die ich mir mal hergeleitet habe. Du findest die Herleitung, wenn du sie nicht selber kannst, hier auch auf dem Portal.

a)

A = 2/3 * g * h = 2/3 * 8 * 2 = 32/3 = 10.67 m²

b)

V = G * h = 32/3 * 2000 = 64000/3 = 21333 m³

c)

1/8*x^2 = 1 --> x = 2·√2 = 2.828

(2/3 * 4·√2 * 1) / (2/3 * 8 * 2) = √2/4 = 0.3536 = 35.36%

Answer 3

Parabel
f ( x ) = 1/8 * x^2
Stammfunktion
S ( x ) = 1/24 * x^3

[ S ( x ) ] zwischen - 4 und 4 = 5.33

Dies ist die Querschnittsfläche zwischen Parabel
und x-Achse

Die Wasserfläche ist
8 * 2 minus 5.33 = 10.67 m^2

b.)
Volumen 2000 * 10.67

c.)
Hier kann Trick 17 angewendet werden.
Du verschiebst die Parabel um 1 Einheit nach
unten
f ( x ) = 1/8 * x^2 - 1
S ( x ) = 1/24 * x^3 - x

Nullstellen berechnen
2 * √2, - 2 *√2

[ S ( x ) ] zwischen - 2 * √2 und 2 *√2
-3.77
Absolut
3.77

3.77 zu 10.67