Artikel: Lösungsmethoden der Approximation

Question

Einleitung

Das Wort Approximation ist im Wortstamm lateinisch: proximus = der Nächste. Daher ist Approximation zunächst ein Synonym für eine Annäherung. In der Mathematik gibt es für diese Annäherung sogenannte Näherungsverfahren.

Ein Grund, Näherungen mathematisch zu untersuchen, ist dann gegeben, wenn es um die Lösung einer Gleichung geht, die nur schwer zu lösen ist, weil kein Standardverfahren einsetzbar ist oder keine rationale Lösung zu erwarten ist. Dann begnügt man sich mit einer Approximation der Lösung.

Der Einsatz von elektronischen Werkzeugen beschleunigt Lösungsverfahren durch Approximation oder macht sie überhaupt erst möglich. Diese Werkzeuge eignen sich nämlich besonders gut für immer wieder gleich ablaufende Rechnungen (Schleifen, Iterationen, Rekursionen), wie sie in Näherungsverfahren beschrieben werden.

Erste Beispielaufgabe:

Nenne ein Näherungsverfahren und eine positive Näherungslösung der Gleichung x²=30. Nur am Rande sei erwähnt, dass die Lösung x=√30 zwar exakt aber ohne praktische Bedeutung ist. In der Praxis braucht man eine rationale Zahl mit einer angemessenen Genauigkeit. Viele Näherungsverfahren schachteln die exakte Lösung immer weiter ein, bis das Intervall (die Schachtel) einen gewünschten Durchmesser hat. Das Beispiel x²=30 lässt sich umformen: x·x=5·6. Damit ist das erste Intervall [5,6] der Einschachtelung bereits gefunden. Eines der Näherungsverfahren heißt „Intervallhalbierung“, weil die Intervalle der Einschachtelung immer wieder halbiert werden. Dieses Verfahren wenden wir jetzt im Beispiel an: Eine neue Intervallgrenze ist jetzt arithmetische Mittel aus 5 und 6 oder allgemein aus x und 30/x. Daraus ergibt sich die Rekursionsformel x_n+1=(x_n+30/x_n)/2 und x₁=5 oder x₁=6. Schon nach 3 Rekursionsschritten erhält man 5,4772255, was bereits eine akzeptable Näherung sein kann.

Zweite Beispielaufgabe:

Bestimme eine Nullstelle von f(x)=x – 2+ln(x). Zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion, deren Term eine Verknüpfung aus Polynom und Logarithmusterm ist, gibt es kein Standardverfahren. Sehr oft wird in solchen Fällen das Newtonsche Näherungsverfahren eingesetzt. Es gibt aber auch Näherungsverfahren ohne Rückgriff auf die Differentialrechnung, von denen die Regula falsi hier erklärt werden soll: [1; –1] ist ein Punkt der Funktion f unterhalb der x-Achse und f(2)>0. Die Gerade durch die Punkte [1; –1] und [u;f(u)] hat die Gleichung (nach  der Zwei-Punkte-Form) (f(u)+1)/(u+1)=(y+1)/(x–1). Ihre Nullstelle ist x_n=(ln(u)+2(u–1))/(ln(u)+u–1). Diese Nullstelle liegt für u=2 im Intervall [1;2] und näher an der Nullstelle von f, als die Intervallgrenzen. Setzt man u=x_n-1, so entsteht die Rekursionsformel: x_n=(ln(x_n-1)+2(x_n-1–1))/(ln(x_n-1)+ x_n-1–1). Beginnend mit x₀=2 wird nach 7 Rekursionsschritten 1.5571456 erreicht, deren erste 7 Nachkommastellen sich in weiteren Rekursionsschritten nicht mehr ändern.

Man kann auch den grafikfähigen Taschenrechner (GTR) oder ein Computer-Algebra-System (CAS) nutzen, um den Graphen der Funktion darzustellen und in dieser Darstellung die Nullstelle abzulesen. Zusätzlich eignen sich sowohl GTR als auch CAS zur schnellen Durchführung von Rekursionsprozessen. Mit dem GTR verfährt man folgendermaßen: Eingabe eines Startwertes (hier 2), ENTER, Eingabe von (ln(ANS)+2(ANS –1))/(ln(ANS)+ ANS –1) und so lange ENTER, bis in einer vorgegebenen Stellenzahl sich im Display nichts mehr ändert.