Berechnen Sie wenn möglich alle Schnittpunkte der Graphen

Question

Guten Tag

ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Gegeben sind folgende Funktionen:

f(x)= x^3+2x^2-x-2

g(x)= 3x^2+4x-1

h(x)= 6x+4

i(x)= 6

Berechnen Sie alle Schnittpunkte, außer die an der x und y Achse (falls möglich).

Die 4 Graphen habe ich im Funktionsplotter dargestellt. 

~plot~ x^3+2x^2-x-2; 3x^2+4x-1; 6x+4; 6 ~plot~

Answer 1

dies ist eine sehr umfangreiche Aufgabe, jede Funktion mit jeder Funktion gleichsetzen, sind dann so 7 Rechnungen.

i(x) = h(x)

6= 6x+4     =>    x= 1/3     S( 1/3 | 6)

i(x)=g(x) 

6=3x^2+4x-1   |-6

0= 3x^2+4x-7  | geteilt durch 3 und weiter mit der  pq-Formel

    x₁= - 7/3     x₂= 1            P(-7/3|6)   Q(1 | 6)

so müsste man dann weiter alle Schnittpunkte berechnen.

bei i(x) =f(x)   erhält man nur einen Schnitpunkt bei  x  ca 1,62

Answer 2

g(x)= 3x^2+4x-1
h(x)= 6x+4

3x^2+4x-1 = 6x + 4
3x^2 + 4x - 6x = 5
3x^2 - 2x = 5 | mitternachtsformel
oder
3x^2 - 2x = 5 | : 3
x^2 - 2/3x = 5 / 3 | quadr.Ergänzung
x^2 - 2/3 x + (1/3) ^2 = 15 / 9 + 1/9
( x + 1/3 ) ^2 = 16 /9
x + 1/ 3 = √ ( 16 / 9 )
x + 1/ 3 = ± 4 / 3
x = 1
und
x = - 5/3

f(x)= x^3+2x^2-x-2
g(x)= 3x^2+4x-1

x^3+2x^2-x-2 =3x^2+4x-1
x^3 - x^2 - 5x -1 = 0

x = -1.65..
x = -0.21..
x = 2-87..

Die Schnittpunkte lassen sich algebraisch
nicht bestimmen.
Hier ist z.B. das Newton-Verfahren
angesagt.
Oder dürft einen GTR-Rechner nutzen ?

Comments

Die Schnittpunkte lassen sich algebraisch
nicht bestimmen.

Warum behauptest du immer wieder einen derartigen Unsinn?

x = 1
und
x = - 5/3

Gleiche Frage.

Answer 3

Hallo Nikola,

du musst jeweils zwei der Funktionsterme gleichsetzen:

x^3 + 2·x^2 - x - 2 = 3·x^2 + 4·x - 1

                           [   x ≈ -0.21075588  ∨  x ≈  -1.6554424  ∨  x ≈ 2.8661983 ] 

x^3 + 2·x^2 - x - 2 = 6·x + 4

                           [   x ≈ -0.75564   ∨   x ≈ -3.5079   ∨   x ≈ 2.26354 ]

x^3 + 2·x^2 - x - 2 = 6                          [   x  ≈  1.62892 ] 

Für obige Gleichungen kannst du (ziemlich lästig!) die Cardano-Formeln oder - üblicher! - ein Näherungsverfahren (z.B. das Newtonverfahren) anwenden. Hinter den Gleichungen stehen die Näherungslösungen meines Rechners.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

3·x^2 + 4·x - 1 = 6·x + 4         [  x = 5/3  ∨  x = -1 ] 

3·x^2 + 4·x - 1 = 6                  [  x = - 7/3 ∨ x = 1  ]

6x + 4 = 6                               [  x = 1/3 ]

Das ergibt zwei quadratische Gleichungen (z.B. pq-Formel) und eine lineare Gleichung.

Gruß Wolfgang

Comments

Eigentlich sind die Cardanischen Formeln ganz okay:

https://www.mathelounge.de/516194/cardanische-nullstellenerrechnung-kubischer-gleichungen

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Wer gerne rechnet :-)

 (Ich habe sie dir ja auch nahegebracht, als du noch Anton warst :-))

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Das halt ich für eine Lüge!!!!!! ;)

Danke nochmal, aber gorgar hat auch ordentlich mitgeholfen, damals hatte ich noch nicht so ein großes Verständnis, hab aber schon nach den Sternen gegriffen, wie ich es immer tue.

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Habe die "Lüge!!!!!!" in meinem Kommentar "entschärft". Einverstanden? :-)

... hab aber schon nach den Sternen gegriffen

und das mit sehr viel Fleiß und sehr erfolgreich!

Im Übrigen erhält man mit diesen Formeln ggf. auch die komplexen Lösungen, die aber im Zusammenhang mit den Schnittstellen nicht gefragt sind.

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Gute Entschärfung! Nein, man kann schon sagen, dass du dazu beigetragen hast, mir Spaß an der Mathematik zu bringen.