Anzahl der Determinantenfunktionen angeben und Determinantenfunktion berechnen

Question

1. Die Anzahl der Determinatenfunktionen D: K2->K für die die Gleichung D((1,3),2,1))=5 gilt ist

2. Sei D: K2-> K eine Determinantenfunktion, sodass D((1,-5), (1,0))=1. Dann ist D((-2,2),(6,4))=

Kann mir jemand sagen wie ich diese beiden Fragen berechne?

Answer 1

Jede Determinantenfunktion \(D\) laesst sich in der Form \(D(A)=D(E)\cdot\det A\) schreiben. Das ist auch schon alles, was man für die Aufgabe braucht. Die Formel wird in Deinen Unterlagen stehen.

Comments

Ich habe die Aufgabe auch an der Uni Dortmund.
Und leider weiß ich nicht genau was ich mit deiner Antwort anfangen kann. Also zu 1. Woher weiß ich durch die Formel wie viele Determinantenfunktionen es gibt? Ist das dann nur eine?
Und bei 2. verstehe ich auch nicht wie man die formel anwenden soll. Könntest du das vielleicht an einem beliebigen Beispiel zeigen?

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In Worten: Jede Determinantenfunktion \(D\) ist ein Vielfaches von \(\det\) ...

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Ja das habe ich schon verstanden, aber was bedeuten denn die Zahlen?D((1,-5), (1,0))=1. Was habe ich denn hier immer für eine Matrix? Meint man die Determinante von

(1   -5

 1     0) oder wie muss ich das D((1,-5), (1,0)) verstehen?

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Das verstehe ich so:

1 = D((1,-5), (1,0)) = 1/5 det((1,-5), (1,0)) = 1/5 * (0-(-5)) = 1 

Damit wäre

D((-2,2),(6,4))

= 1/5 det((-2,2),(6,4))

= 1/5 (-8 - 12)

= 1/5 (-20)

= - 4

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Ah perfekt danke, jetzt habe ich es verstanden.

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Freut uns. Du musst dich einfach noch um das K kümmern. Das hast du nicht angegeben.

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1 = D((1,-5), (1,0)) = 1/5 det((1,-5), (1,0))

Woher weiß ich das/ wie komme ich darauf?

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Und zur ersten Teilaufgabe:

det((1,3),(2,1)) = -5

Das heißt D((1,3),(2,1))=(-1)*(-5)

heißt das es gibt nur eine Determinantenfunktion?

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@Benny: Lies die Antwort von Fakename genau.

Kann sein, dass du das bei dieser Aufgabe beweisen / herausfinden musst. Da musst du halt mal angeben, was ihr von Determinantenfunktionen wisst. (Definition, Eigenschaften usw.)

Answer 2

2. Sei D: K2-> K eine Determinantenfunktion, sodass D((1,-5), (1,0))=1. Dann ist D((-2,2),(6,4))=

Ich weiss nicht, was in deinen Unterlagen steht. Ausserdem hast du nicht gesagt, was K sein soll. Bei den üblichen Determinanten darf man Vielfache von Zeilen bei andern Zeilen addieren. Vielleicht, darf man das hier auch ? Kontrolliere das!

Ausserdem: Wenn man bei üblichen Determinanten eine Zeile durch (-2) teilt, kommt ein Faktor (-2) vor die Determinante. 2x2-Matrizen darf man an der Hauptdiagonalen spiegeln. Auch hier: Du musst das selbst nachschauen, ob das erlaubt ist.

D((-2,2),(6,4)) 

= D((-2,2),(6,4) - 2(-2,2))

= D((-2,2),(10,0))          | Beide Zeilen durch (-2) 

= (-2)(-2) D((1,-1),(-5,0))  | Spiegelung an Hauptdiagonale

 = (-2)(-2) D((1,-5),(-1,0))   | Zweite Zeile durch (-1)

= (-2)(-2)(-1)*D((1,-5),(-1,0))

= (-1) * 4

= - 4