Sequential 8's with 9 im Zahlenberg

Question

Wie kann ich diesen Zahlenberg formalisieren und beweisen?

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Kann mir jemand bitte helfen?

Comments

9·∑ (k = 1 bis n) ((10 - k)·10^{n - k}) + 8 - n

= 8·(10^{n + 1} - 1)/9

An dieser Struktur erkennst du es ja schon recht gut.

Wenn man von einer Zehnerpotenz 1 Abzieht, bleiben in jeder Dezimalstelle 9 stehen. Das teilt man durch 9 und multipliziert mit 8 ergibt an jeder Dezimalstelle 8.

Bleibt eigentlich nur das Vereinfachen des Summenterms. Willst du das mal probieren?

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kannst du eventuell einen Tipp geben wie  man das vereinfachen kann? ich weiß nicht wie ich den Summenterm umformen soll, um voran zu kommen?

bin nach mehrmaligen umformen auf folgendes gekommen, was mich allerdings wohl nicht weiterbringt:

80 - 9n + 81* ∑ (k = 1 bis n) ((10 - k)*10^{n - k} = 10^n * 80

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Für die n-te Zeile lautet die Gleichung:

(((10^{n+1}-1)/9*8-8+n)/9) * 9 + (8-n) = ((10^{n+1}-1)/9*8)

Hübsche Fragestellung!

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(((10n+1-1)/9*8-8+n)/9) ergibt sich also für: ∑ (k = 1 bis n) ((10 - k)·10n - k)

wenn k = n ist?

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Ich habe den Summenterm nicht benutzt und auch gar nicht darüber nachgedacht.