Berechne das uneigentliche Integral über e^{3jx-2x}

Question

Berechne das uneigentliche Integral

$$ \int _{ 0 }^{ \infty  }{ { e }^{ (3j-2)\cdot x } } dx $$

Wie macht man das mit komplexen Zahlen?

Comments

also wie ich die Stammfunktion bilde weiß ich. Da brauch ich nur durch die innere Ableitung teilen

Also ist die Stammfunktion

F(x) = (- 2/13 - 3/13·i)·e^{(-2 + 3·i)·x} + c

Answer 1

Abend ;),

ich sehe hier eigentlich kein Problem.

Substituiere: u = 3i-2

$$-\frac{2+3i}{13}\int e^u du = -\frac{2+3i}{13}e^{(3i-2)\cdot x} + c$$

Nun noch die Grenzen einsetzen (e-Funktion besonders betrachtet).

\(e^0\) ist ganz klar 1.

Für \(x\to\infty\) ist nur die -2 von Belang, was zu 0 führt.

(Mit komplexen Exponenten ist das ja trigonometrisch zu betrachten also Änderungen nur im Amplitudenbereich)


-->

Das Integral sollte also \(0-(-\frac{2+3i}{13}) = \frac{2+3i}{13}\) ergeben.

Grüße

Comments

Ok. Soweit klar. Kannst du mir noch erklären warum für x→∞ nur die -2 von belang ist?

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Ich habe es gerade noch nachgetragen. Damit klar? ;)

Es ist ja ein Splitting dank Potenzgesetzen erlaubt.

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Hm. Hat etwas länger gedauert bis ich das nun verstanden habe. die 3 ist ja der Winkel im Bogenmaß und e^-2 ist ja der Radius. Und klar. Beim Potenzieren verkleinert sich die Komplexe Zahl solange der Radius kleiner 1 ist. Daher ist hier eigentlich nur der reelle Anteil der komplexen Zahl interessant.

Nun hab ich das wirklich verstanden.

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Genau so ist es. Ich denke dabei wie gesagt an die trigonometrischen Funktionen, wenn ich mit komplexer e-Funktion zu tun habe. Dann ist die Sache schnell klar :).


Freut mich.

Answer 2

$$\int _{ 0 }^{ \infty  }{ { e }^{ (3j-2)\cdot x } } dx=1/(3j-2){ \quad  }^{ \quad  }*\quad { e }^{ (3j-2)\cdot x }\quad |\begin{matrix} \infty  \\ 0 \end{matrix}\\ =\quad 1/(3j-2)\quad *\quad (\quad ({ e }^{ 3j*\infty  }{ e }^{ -2*\infty  })\quad -\quad { e }^{ 0 })\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad im\quad Produkt\quad ({ e }^{ 3j*\infty  }{ e }^{ -2*\infty  })\quad ist\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad der\quad erste\quad Term\quad betragsmässig\quad beschränkt\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad und\quad der\quad zweite\quad geht\quad gegen\quad 0.\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad Daher\quad Produkt\quad gegen\quad 0.\\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad e }^{ 0 }=1\\ =\quad -1/(3j-2)\quad \\ Jetzt\quad kann\quad man\quad mit\quad dem\quad 3.\quad Binom\quad noch\quad j\quad aus\quad dem\quad Nenner\quad entfernen.$$

\int _{ 0 }^{ \infty  }{ { e }^{ (3j-2)\cdot x } } dx=1/(3j-2){ \quad  }^{ \quad  }*\quad { e }^{ (3j-2)\cdot x }\quad |\begin{matrix} \infty  \\ 0 \end{matrix}\\ =\quad 1/(3j-2)\quad *\quad (\quad ({ e }^{ 3j*\infty  }{ e }^{ -2*\infty  })\quad -\quad { e }^{ 0 })\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad im\quad Produkt\quad ({ e }^{ 3j*\infty  }{ e }^{ -2*\infty  })\quad ist\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad der\quad erste\quad Term\quad betragsmässig\quad beschränkt\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad und\quad der\quad zweite\quad geht\quad gegen\quad 0.\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad Daher\quad Produkt\quad gegen\quad 0.\\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad e }^{ 0 }=1\\ =\quad -1/(3j-2)\quad \\ Jetzt\quad kann\quad man\quad mit\quad dem\quad 3.\quad Binom\quad noch\quad j\quad aus\quad dem\quad Nenner\quad entfernen.

Comments

Irgendwas mit der Umwandlung will hier nicht. Aber ich sehe gerade, dass da Unknown schon eine schöne Antwort geschrieben hat.

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Vielleicht sind zu viele "\quad"s drin ;D ?!

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Nachtrag und ganz im Ernst -> Ich glaube den Fehler identifiziert zu haben.

Bei \begin{matrix} etc. dürfen keine Leerzeichen zwischen Buchstabe und Klammer stehen! ;)

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Kein Ding.
Wenn Du mir allerdings die Empfehlung erlaubtst, so würde ich sparsamer mit "\quad" umgehen. Das sind nicht nur als TeX schrecklich aus, man kanns (siehe bei Dir^^) auch nicht genau abschätzen, wies letztlich aussieht.

Schreibe den Text "normal" und wenn Du in der gleichen Zeile TeX verwendest, so setze \.( und \.) (ohne die Punkte). Dann passt sich das an den Text an. Die Dollarzeichen erlauben ja keinen Text auf gleicher Zeile.


Grüße