Zeigen Sie, dass der Endomorphismus diagonalisierbar ist.

Question

Hi ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Es sei Φ: $$ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n   $$ ein Endomorphismus, welcher die Gleichung: Φ^{3}+10Φ=7Φ^{2} erfüllt. Zeige, dass Φ diagonalisierbar ist.

Comments

\(\Phi\) annulliert \(X^3-7X^2+10X=X(X-2)(X-5)\). Man kennt damit alle Moeglichkeiten für Eigenwerte und Minimalpolynom. Mach was draus.

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Soweit war ich schon das hätte ich dazu schreiben sollen. Tut mir Leid.

Ich weiß, dass X(X-2)(X-5) das anullierende Polynom ist und ich weiß das Φ genau dann diagonalisierbar ist wenn das Minimalpolynom Produkt von verschiedenen Linearfaktoren ist. Ich bekomme aber gerade den Schluss von dem annullierendem Polynom zum Minimalpolynom nicht. Ich weiß noch dass das Minimalpolynom ein Teiler des annullierendem Polynoms ist. Ich schätze dass die Antwort nicht weit liegt aber ich komm einfach nicht drauf.

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Das Minimalpolynom koennte sein: X, X-2, X-5, X(X-2), X(X-5), (X-2)(X-5) oder X(X-2)(X-5). Macht das für die Beantwortung der Frage einen Unterschied?