Normen - Mittelpunkt bestimmen

Question

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Für einen metrischen Raum X und Punkte x, y ∈ X wird ein Punkt m ∈ X Mittelpunkt von x und y genannt, wenn $$ d(m,y) = d(m,x) = \frac{1}{2}d(x,y) $$ gilt. Zu zeigen ist:

1) Ist X ein normierter Raum, so ist $$ m = \frac{x+y}{2} $$ ein Mittelpunkt von x und y.

Ich habe es so gezeigt:

$$ d(m,y) = \frac{1}{2}d(x,y) ⇔ d(m,y) = \frac{1}{2}||x-y|| ⇔ ||m-y|| = \frac{||x-y||}{2} ⇔ m = \frac{x+y}{2} $$ Kann man das so machen?

2) Für p > 1 ist $$ \frac{x+y}{2} $$ der einzige Mittelpunkt von x und y in $$ ((\mathbb{R^n}, ||·||_p) $$

Hier weiß ich nicht, wie man vorgehen soll.

3) Man soll drei Mittelpunkte von (0, 0) und (1, 1) in $$ ((\mathbb{R^2}, ||·||_1) $$ angeben.

Es gilt ja für p =1: $$ \sum_{i=1}^{n}{|x_i|}= 0 + 0 = 0 $$

Selbiges für (1, 1). Somit wäre nur 0 ein Mittelpunkt für (0, 0) und 1 einer für (1, 1). Wie soll man dann 3 Punkte angeben?

Gruß

Answer 1

Hallo

 ich sehe deinen Beweis nicht ein, du musst doch zeigen, dass d(x,(x+y)/2)= d(y,(x+y)/2)=1/2s(x,y) ist, das sehe ich nicht.

zur 2 ten Frage es ist doch so dass du das eben für p=2 usw zeigen musst

zu 3) es geht doch nicht um den mittelpunkt von (0,0) was soll das denn sein? sondern um den zwischen x=(0,0) und y=(1,1)

Gruß lul

Comments

Zur 1)

Kann man überhaupt annehmen, dass $$ d(x,y) := |x-y| $$ gilt oder muss man es bezüglich der euklidischen Metrik $$ d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_i-y_i)^2}} $$ zeigen?

Die 1) habe ich so: $$ d(\frac{x+y}{2}, y) = || \frac{x+y}{2} -y || = || \frac{x-y}{2} || $$ und das ist das gleiche vom Betrag her wie $$ d(\frac{x+y}{2}, x) $$

2)

Es gilt ja: $$ ||w||_p= \sqrt[p]{{|w_1|^p+...+|w_n|^p}} $$ Aber wie soll man das für zwei Punkte machen?

3)

Dann sind ja (0, 1), (1, 0) und (0,5, 0,5) Mittelpunkte, aber wie kann man es überprüfen? Habe die Punkte in die Gleichung eingesetzt, aber erhalte keine Lösung. 

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Weiß das jemand?