Scheitelpunkt berechnen bei Parabel f(x)=0,33x²-0,67x-8

Question

Aufgabe:

f(x)=0,33x²-0,67x-8

Begründen Sie zunächst ohne Rechnung, dass der Graph die \( x \) -Achse zweimal schneidet. Ermitteln sie dann die Koordinaten dieser Punkte. Bestimmen Sie auch die Koordinaten des Schnittpunktes mit der \( y \) -Achse. Ermitteln sie rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel.

Ansatz:

1. Parabel liegt auf der y-Achse bei -8 der rest erklärt sich von selbst.

2. Um die Koordinaten dieser Punkte zu bekommen rechnet man von der Normalform in die Scheitelpunktform um.

3. Schnittpunkt (Nullstellen) kriegt man mit der pq Formel raus

4. Ist das nicht das was ich schon zu anfang gemacht habe?

Answer 1

zu 2) In die Scheitelpunktform rechnet man um, wenn man die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmen möchte. Die lassen sich aus der Scheitelpunktform nämlich einfach ablesen.

Im Aufgabenteil 2 sollen aber nicht die Koordinaten des Scheitelpunktes sondern die Nullstellen der gegebenen Funktion f ( x ) bestimmt werden, also diejenigen Stellen x, an denen der Graph von f die x-Achse schneidet für die also gilt:

f ( x ) = 0 

Setze also den Funktionsterm gleich Null und löse die so entstehende quadratische Gleichung nach x auf. Dazu kann man die pq-Formel benutzen.

(Das ist im übrigen das, was du unter 3). machen willst.)

Bei 3) sollst du aber nicht die Nullstellen, sondern den y-Achsenabschnitt bestimmen, also den Punkt auf der y-Achse, in dem der Graph von f ( x ) diese schneidet. Da dies an der Stelle x = 0 geschieht, brauchst du dazu also nur den Funktionswert von f ( 0 ) zu bestimmen.

(Die Lösung hast du schon unter 1) geschrieben).

Comments

Was ist mit dem letzten punkt?

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Nun, da musst du den Funktionsterm in die Scheitelpunktform bringen und dann den Scheitelpunkt ablesen.

Alternativ kannst du f ( x ) auch ableiten, die Ableitung gleich Null setzen und nach x auflösen.

Oder du bestimmst die Nullstellen von f ( x ) - das ist ja schon unter 2) gefordert. Falls genau zwei Nullstellen existieren (was ja vorliegend der Fall ist), liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes wegen der Symmetrie einer Parabel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Existiert hingegen nur eine Nullstelle, dann ist diese gleichzeitig auch die x-Koordinate des Scheitelpunktes.

Noch zu Punkt 1) Die Parabel ist nach oben geöffnet und schneidet die y-Achse bei - 8. Somit muss sie zwei Nullstellen haben.

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deswegen meinte ich ja zu 1. dass der rest sich von selbst erklärt. Du meinst den FUnktionsterm in die Scheitelpunktform ja? aber habe ich das nicht schon bei aufgabe 1 gemacht?

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Wenn du bei 2) die Nullstellen via Scheitelpunktform berechnet hast, hast du natürlich den Scheitelpunkt bereits.

Die beiden Nullstellen, die bei 2) verlangt waren, bekommst du auch, wenn du

0,33x²-0,67x-8 = 0 mit der abc-Formel nach x auflöst.