Jacobi Matrix, lineare Approximation

Question

f: ℝ² →ℝ²  , f(x,y) = (3xy,-y² )^T

^{Zeigen sie das:}

^{$$ J_{ f }(1,1)=\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$}

^{ohne Ableitungen zu berechnen, sondern mithilfe der Eindeutigkeit der linearen Approximation.}

^{Hinweis: Die Anfangsumschreibung x=(x-1) +1 udn y =(y-1)+1 machen die Limesberechnungen viel einfacher.}

^{Meine Idee:}

^{Die Eindeutigkeit der lineare Approximation habe ich in den Unterlagen so stehen:}

^{$$f(x) \sim f(a) + Jf(a) \cdot (x-a) + o(||x-a||)$$}

^{Mir gab dann wer den Tipp, ich soll so anfangen:}

$$ f(1+h,1+k)={3(1+h)(1+k)\choose-(1+k)^2}-{3\choose-1}=\ldots$$

^{Und durch Algebra umformen auf $$ \ldots=A{h\choose k}+o(\lVert(h,k)\rVert) $$}

^{wobei $$ J_f(1,1)=A $$}

Aber das Ergebnis A, soll ja eine 2x2 Matrix sein. Ich starte aber mit einer 2x1 Matrix, wie soll das gehn....

Ich hänge hier.

Comments

\(f(1+h,1+k)-f(1,1)\) ausrechnen klingt ja nach einem Monstertipp. Wie weit bist Du bei dieser Rechnung schon gekommen? Vielleicht postest Du das Ergebnis mal?

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Ja Ausmultipliziert und subtrahiert.

$$ f(1+h,1+k) - f(1,1) = {3(1+h)(1+k)\choose-(1+k)^2} -{3\choose-1}= {(3+3h)(3+3k) -3 \choose-2k -k^2} = {6 + 9k + 9h+ 9hk \choose-2k -k^2}  $$

Und dann ?

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Das wuerde ich noch mal nachrechnen an Deiner Stelle. Wenn Du es dann richtig hast, sortierst Du nach linearen und nichtlinearen Termen. Den linearen Teil schreibst Du als Matrix-Vektor-Produkt.

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Danke,

zunächst mal die Frage, warum benutze ich nur die linearen Terme ?

und zweitens:

$$ f(1+h,1+k) - f(1,1) = {3(1+h)(1+k)\choose-(1+k)^2} -{3\choose-1}= {3k+3h+3hk \choose-2k -k^2} = {6 + 9k + 9h+ 9hk \choose-2k -k^2} $$

lineare Terme: 3k, 3h, 3hk, -2k

Matrix Vektorprodukt:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ -2 & 0 & 0  \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} k \\ h \\ hk \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3k+3h+3hk \\ -2k  \end{pmatrix}  $$

Sieht zwar schon fast wie das Ergebnis aus, aber verstehe nicht warum ich das machen darf.

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\(hk\) ist ein Term zweiter Ordnung, so wie \(k^2\). Und von streichen hab ich nichts gesagt. $$f(1+h,1+k)-f(1,1)=\begin{pmatrix}3&3\\0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3hk\\-k^2\end{pmatrix}.$$ Es verbleibt noch, $$(3hk,-k^2)=o(\lVert(h,k)\rVert)\quad\text{fuer $(h,k)\to(0,0)$}$$ nachzurechnen, um $$J_f(1,1)=\begin{pmatrix}3&3\\0&-2\end{pmatrix}$$ aus dem Ergebnis ablesen zu koennen.