Die Menge der größten Primteiler. Zeige 5 ist kein Element

Question

Hallo :)

Ich sitze grade an meinem Zahlentheorie Übungszettel aber verzweifle gerade einwenig an der letzten fehlenden nummer <.<. Es ist eine Menge vom Primteiler folgendermaßen definiert:

Sei p₁ = 2 und P_n+1 der größte Primteiler von p₁*...* p_n +1, also p₂ = 3 p3 = 7, p4 = 43, p5 = 139 etc

So es soll jetzt gezeigt werden, dass 5 nicht in der Menge diesers primteiler liegt also 5 ist kein element von  {p1, p2,.....}

Mein Ansatz wäre gewesen über Induktion und widerspruch zu zeigen, dass 5 nicht in der Menge liegen kann. Dies führt allerdings nicht wirklich zu einer Lösung. Ich hätte auch versucht aus der Tatsache, dass dieses Pn ja eine 5er Potenz sein müsste etwas zu konstruieren aber damit hatte ich auch kein Glück :/

Würde mich über etwas hilfe freuen

LG

Comments

Wenn 5 der größte Primteiler wäre, dann hieße das ja, dass die

Zahl p1*p2*...*pn + 1  nur durch 2, 3 und 5 teilbar wäre und durch keine

andere Primzahl.

Vielleicht kann man damit was machen.

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Darüber hätte ich auch schon nachgedacht. Da 2 und 3 aber faktoren von p1*p2*.... sind folgt ja das 2,3 keine faktoren von p1*p2*.... +1 sind. Dh müsste das ganze produkt eine potenz von 5 sein . Das bringt aber jetzt auch nicht wirklich einen widerspruch :/

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Ok ich hab den Ansatz noch einwenig weitergefürt und man kann tatsächlich einen wderspruch finden weil p1*p2*....*pn +1 eine 5er potenz sein muss. :O