Analog zur folgenden Frage:
https://www.mathelounge.de/542024/bestimmen-folgende-funktionen-funktionen-differenzierbar
----------
Damit \(u + \text{i}v\) komplex differenzierbar ist, müssen \(u\) und \(v\) die Cauchy-Riemman-Differentialgleichungen erfüllen:
\([1]: \quad\partial_x u(x+\text{i}y)=\partial_y v(x+\text{i}y)\)
\([2]: \quad\partial_y u(x+\text{i}y)=-\partial_x v(x+\text{i}y)\)
Wegen \(u(x+\text{i}y)=x^2-y^2+\text{e}^{-y}\cdot \sin(x)-\text{e}^{y}\cdot \cos(x)\) erhält man dann aus \([1]\):
\(\partial_y v(x+\text{i}y) = \partial_x u(x+\text{i}y)=2x+\text{e}^{-y}\cdot\cos(x)+\text{e}^{y}\cdot\sin(x)\)
Demnach ist dann:
\(\begin{aligned} v(x+\text{i}y)&=v(x+\text{i}0)+\int_{0}^{y}\partial_y v(x+\text{i}t)\,\text{d}t\\&=v(x+\text{i}0)+\int_{0}^{y}\left(2x+\text{e}^{-t}\cdot\cos(x)+\text{e}^{t}\cdot\sin(x)\right)\,\text{d}t\\&=v(x+\text{i}0)+\left[2 x t-\text{e}^{-t}\cdot\cos(x)+\text{e}^{t}\cdot\sin(x)\right]_{t=0}^{t=y}\\&=v(x+\text{i}0)+\left(2 x y-\text{e}^{-y}\cdot\cos(x)+\text{e}^{y}\cdot\sin(x)\right) - \left(0-1\cdot\cos(x)+1\cdot\sin(x)\right)\\&=v(x+\text{i}0)+2 x y+\left(1-\text{e}^{-y}\right)\cdot\cos(x)+\left(-1+\text{e}^{y}\right)\cdot\sin(x) \end{aligned}\)
Außerdem ist nach \([2]\) und wegen \(u(x+\text{i}y)=x^2-y^2+\text{e}^{-y}\cdot \sin(x)-\text{e}^{y}\cdot \cos(x)\):
\(\begin{aligned}\partial_x v(x+\text{i}0)&=-\partial_y u(x+\text{i}0)=-(-2 y - \text{e}^{-y}\cdot \sin(x)-\text{e}^{y}\cdot \cos(x))_{y=0}\\&=-(-2\cdot0 - \text{e}^{-0}\cdot \sin(x)-\text{e}^{0}\cdot \cos(x))\\&=-\left(0-\sin(x)-\cos(x)\right)=\sin(x)+\cos(x)\end{aligned}\)
Daher erhält man:
\(\begin{aligned}v(x+\text{i}0) &= v(0+\text{i}0)+\int_{0}^{x}\partial_x v(t+\text{i}0)\,\text{d}t\\&=v(0+\text{i}0)+\int_{0}^{x}(\sin(t)+\cos(x))\,\text{d}t\\&=v(0+\text{i}0)+\left[-\cos(t)+\sin(t)\right]_{t=0}^{t=x}\\&=v(0+\text{i}0)+\left(-\cos(x)+\sin(x)\right)-\left(-\cos(0)+\sin(0)\right)\\&=v(0+\text{i}0)+\left(-\cos(x)+\sin(x)\right)-\left(-1+0\right)\\&=v(0+\text{i}0)-\cos(x)+\sin(x)+1\end{aligned}\)
Schließlich erhält man also
\(\begin{aligned}v(x+\text{i}y) &= v(x+\text{i}0)+2 x y+\left(1-\text{e}^{-y}\right)\cdot\cos(x)+\left(-1+\text{e}^{y}\right)\cdot\sin(x) \\&= v(0+\text{i}0)-\cos(x)+\sin(x)+1+2 x y+\left(1-\text{e}^{-y}\right)\cdot\cos(x)+\left(-1+\text{e}^{y}\right)\cdot\sin(x)\\&= v(0+\text{i}0)+1+2 x y-\text{e}^{-y}\cdot\cos(x)+\text{e}^{y}\cdot\sin(x)\end{aligned}\),
mit einer Konstanten \(v(0+\text{i}0)\in\mathbb{R}\).
----------
Umgekehrt ist für jede Konstante \(v(0+\text{i}0)\in\mathbb{R}\) und für \(v : \mathbb{C}\to\mathbb{R}\) mit
\(v(x+\text{i}y) = v(0+\text{i}0)+1+2 x y-\text{e}^{-y}\cdot\cos(x)+\text{e}^{y}\cdot\sin(x)\)
die Funktion \(u + \text{i}v : \mathbb{C}\to\mathbb{C}\) komplex differenzierbar, da \(u\) und \(v\) offensichtlich stetig partiell differenzierbar sind und \(v\) gerade so konstruiert wurde, dass \(u\) und \(v\) die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllen.
----------
Die Funktion \(u + \text{i}v : \mathbb{C}\to\mathbb{C}\) ist dann übrigens durch
\((u + \text{i}v)(z) = z^2 +\text{i} +(1+\text{i})\cdot\left(\sin(z)-\cos(z)\right) + \text{i} v(0+\text{i}0)\)
gegeben, wonach hier aber nicht gefragt wurde.
