Zu 1.):
Ja, hier ist Modulo-Rechnen angesagt. Aber man kann in \(\mathbb{Z}_{5}\) im Grunde genauso rechnen, wie sonst auch. Nur dass man statt zu dividieren mit dem jeweiligen inversen Element multipliziert.
Beispielsweise wenn man \([2]_5\cdot x = [3]_5\) nach \(x\) auflösen möchte, multipliziert man mit dem inversen Element \([2]_5^{-1} = [3]_5\) und erhält \(x = [3]_5\cdot[3]_5=[3\cdot3]_5 = [9]_5 = [4]_5\).
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Es gibt hier einen schnellen Weg die Teilaufgabe zu lösen:
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Man kann erkennen, dass der dritte Vektor ein Vielfaches des ersten Vektors ist.
\(\begin{aligned}[2]_5\cdot\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right) &= \left([2]_5\cdot[1]_5, [2]_5\cdot[3]_5, [2]_5\cdot[0]_5\right) \\&= \left([2\cdot1]_5, [2\cdot3]_5, [2\cdot 0]_5\right) \\&= \left([2]_5, [6]_5, [0]_5\right) \\&= \left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right)\end{aligned}\)
Demnach ist \(\left\lbrace\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right), \left([0]_5, [0]_5, [3]_5\right), \left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right)\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{Z_5}\)-Vektorraum \(\mathbb{Z}_5^3\).
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Wenn man diesen schnellen Weg nicht sieht, kann man auch folgendermaßen vorgehen ...
Zur Untersuchung, ob \(\left\lbrace\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right), \left([0]_5, [0]_5, [3]_5\right), \left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right)\right\rbrace\) linear unabhängig in \(\mathbb{Z}_5^3\) ist, kann man die Gleichung \[\lambda_1\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right)+\lambda_2\left([0]_5, [0]_5, [3]_5\right)+\lambda_3\left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right) = \left([0]_5, [0]_5, [0]_5\right)\] für \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\in \mathbb{Z}_5\) betrachten.
Diese liefert das Gleichungssystem \[\begin{aligned}[1]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [2]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [3]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [1]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [3]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \end{aligned}\text{.}\]
Dieses Gleichungssystem kann man nun beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Subtrahiere das [3]_5-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile.
\(\begin{aligned}[1]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [2]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [3]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \end{aligned}\)
Vertausche die letzten beiden Zeilen.
\(\begin{aligned}[1]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [2]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [3]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \end{aligned}\)
Multipliziere die zweite Zeile mit \([2]_5\).
\(\begin{aligned}[1]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [2]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [1]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \\ [0]_5\cdot\lambda_1 + [0]_5\cdot\lambda_2 + [0]_5\cdot\lambda_3 &= [0]_5 \end{aligned}\)
Nun erhält man die Lösungen
\(\begin{aligned}\lambda_1 &= [3]_5\cdot\lambda_3 \\ \lambda_2 &= [0]_5 \\ \lambda_3 &= \lambda_3 \end{aligned}\text{.}\)
für beliebigies \(\lambda_3\in\mathbb{Z}_5\). Damit erhält man beispielsweise für \(\lambda_3=[1]_5\) die nicht triviale Lösung
\(\begin{aligned}\lambda_1 &= [3]_5 \\ \lambda_2 &= [0]_5 \\ \lambda_3 &= [1]_5 \text{.}\end{aligned}\)
Dies zeigt, dass \(\left\lbrace\left([1]_5, [3]_5, [0]_5\right), \left([0]_5, [0]_5, [3]_5\right), \left([2]_5, [1]_5, [0]_5\right)\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{Z_5}\)-Vektorraum \(\mathbb{Z}_5^3\) ist.
Zu 2.):
Betrachte die Gleichung \[\lambda_1\cdot\frac{1}{3}+\lambda_{2}\cdot\frac{4}{5}+\lambda_{3}\cdot\frac{7}{11}=0\] mit \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in\mathbb{Q}\).
Durch geschicktes Hinschauen findet man beispielsweise die nicht-triviale Lösung
\(\lambda_1 = 2\cdot \frac{3}{1}=6, \quad \lambda_2 = -1\cdot\frac{5}{4} = -\frac{5}{4}, \quad \lambda_3 = -1\cdot\frac{11}{7} = -\frac{11}{7}\).
Dies zeigt, dass \(\left\lbrace\frac{1}{3}, \frac{4}{5}, \frac{7}{11}\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{Q}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}\) ist.
Zu 3.):
Offensichtlich ist der dritte Vektor die Differenz der beiden anderen Vektoren:
\((t^2+t) - (t + 1) = t^2 - 1\)
Daher ist \(\left\lbrace t^2 + t, t + 1, t^2 - 1\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}[t]\).
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Anonsten könnte man auch die Gleichung \[\lambda_1\cdot(t^2 + t) + \lambda_2\cdot (t + 1) + \lambda_3\cdot(t^2 - 1) = 0\] mit \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\in\mathbb{R}\) betrachten. Diese Gleichung ist äquivalent zu \[(\lambda_1+\lambda_3) \cdot t^2 + (\lambda_1+\lambda_2)\cdot t + (\lambda_2-\lambda_3)\cdot 1 = 0\text{.}\]
Da \(\left\lbrace t^2, t, 1\right\rbrace\) linear unabhängig im \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}[t]\) ist, ist die vorangegangene Gleichung äquivalent zum Gleichungssystem \[\lambda_1+\lambda_3 = 0, \quad\lambda_1+\lambda_2 = 0, \quad\lambda_2 - \lambda_3 = 0\text{.}\]
[spoiler]
Begründung, dass \(\left\lbrace t^2, t, 1\right\rbrace\) linear unabhängig im \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}[t]\) ist.
Betrachte die Gleichung \[\mu_1\cdot t^2 + \mu_2 \cdot t + \mu_3\cdot 1 = 0\] mit \(\mu_1, \mu_2, \mu_3\in\mathbb{R}\).
Durch Einsetzen von \(0\) bzw. \(1\) bzw. \(-1\) für \(t\) erhält man, dass insbesondere die Gleichungen \[\mu_3 = 0,\quad \mu_1 + \mu_2+\mu_3 = 0, \quad\mu_1-\mu_2+\mu_3 = 0\] erfüllt sein müssen. Löst man dieses Gleichungssystem, beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus, erhält man, dass \(\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = 0\) sein muss.
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Die Lösungen sind dann gegeben durch \[\lambda_1 = -\lambda_3,\quad \lambda_2 = \lambda_3,\quad \lambda_3 = \lambda_3\] für beliebiges \(\lambda_3\in\mathbb{R}\).
Für \(\mathbb{3} = 1\) erhält man beispielsweise die nicht-triviale Lösung \[\lambda_1 = -1,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = 1\text{.}\]
Daher ist \(\left\lbrace t^2 + t, t + 1, t^2 - 1\right\rbrace\) nicht linear unabhängig im \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(\mathbb{R}[t]\).
