Eliminationsmethode Frage zur hinreichenden Bedingung

Question

Ich habe eine Eliminationsmethodenaufgabe gegeben:

u(x,y,z) = y^2 + x^3 * z und meine Nebenbedingungen sind

1. x+y+z = 20 und 2. y=4. Habe auch die Lösungen schon x=12, z=4, y=4.

Jetzt soll ich aber auch die hinreichende Bedingung betrachten, dass u maximiert werden soll. Wenn ich jetzt die zweite Ableitung jeweils nach x, y, z bilde und dann die Werte einsetze bekomme ich immer Werte größer 0. Wie soll das dann ein Maximum sein? Beim Maximum muss es doch kleiner 0 sein??

Answer 1

u(x,y,z) = y² + x³ * z   mit den Nebenbedingungen 

y= 4 
x+y+z = 20  →  z  =  20 - y - x  =  16-x 

Das ergibt

u(x) = 16 + x³ · ( 16 - x )  =  16 + 16x³ - x⁴   

u´(x)  =  48 x² - 4 x³  = 0   

 ⇔  x² · ( 48 - 4x ) = 0   ⇔  x = 0 (doppelt)  oder  x = 12

                      Bei der doppelten Nullstelle x = 0  von u'  liegt ein Sattelpunkt vor

u"(x) = 96·x - 12·x^2  →  u"(12) = - 576  < 0   →  Maximum  in (12 | 4 | 4 )

Gruß Wolfgang

Answer 2

u(x,y,z) = y^2 + x^3 * z und meine Nebenbedingungen sind
1. x+y+z = 20 und 2. y=4
x + 4 + z = 20
x + z = 16
z = 16 - x

u(x,y,z) = y^2 + x^3 * z
u(x) = 4 ^2 + x^3 * ( 16 - x )
u ( x ) = 16 + 16 * x^3 - x^4
u ´ (x ) = 48 * x^2 - 4 * x^3
48 * x^2 - 4 * x^3 = 0
x^2 * ( 48 - 4x ) = 0
x = 0
z = 16 - x = 16
( 0, 4, 16 )
und
x = 12
z =  16 - x = 4
( 12, 4, 4 )

Ableitungen in x - Richtung
u(x,y,z) = y^2 + x^3 * z
u ´= 3 * x^2
u ´´= 6 * x
u ´´ ( 0 ) = 0
u ´´ ( 12 ) = 72 ( Tiefpunkt )

Ableitungen in y - Richtung
u ´ = 2 * y
u ´´( y ) = 2 ( Tiefpunkt )

Weiter komme ich auch nicht.

Comments

Verstehe es einfach nicht :D vielleicht hat man in der Textaufgabe etwas falsch geschrieben. Es kommt ja ein Minimum raus und nicht Maximum

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Wird die Frage im Unterricht noch besprochen ?
Kannst du Mitschüler fragen ?

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In (12|4|4)  kann kein Tiefpunkt sein, denn

u(12|4|4)  =  6928  >  6851,9375  =  u(12,5 | 4 | 3,5)  

(vgl. meine Antwort)