Aufgabe Elementare Funktion

Question

Hallo erstmal :).

Ich habe eine Aufgabe die sich mit dem Produktionsumfang einer Firma über eine gewisse Zeit beschäftigt.

Dazu ist mir dieses Polynom 4. Ordnung gegeben:
 U(t)=at^2(t-b)^2

Außerdem steht in der Aufgabe, dass der Produktionsumfang innerhalb von 1,5 Jahren bzw. 18 Monaten bis auf 81 Einheiten erhöht, und danach nimmt er wieder ab.

Die Aufgabe ist es nun die Parameter a unb b zu berechnen.
Ich weiß aus der Aufgabe, dass U(18 Monate) = 81 ergibt und
da der Hochpunkt gegeben ist, weiß ich außerdem dass die erste Ableitung von U(t) für 18 t = 0 wird.
U'(18 Monate)=0

Ich hab jetzt als erstes das gegebene Polynom umgeschrieben, so dass rauskommt:

 U(t)=at^4-2abt^3+ab^2t^2 

und das habe ich dann abgeleitet:
[latex] U'(t)=4at^3-6abt²+2ab^2t 

Nur jetzt weiß ich nicht mehr weiter.
Ich habe jeweils t=18 in die beiden Gleichungen eingesetzt und U(t) dann =81 gesetzt, sowie U'(t) =0 gesetzt, um dann aus diesen beiden Gleichungen ein lineares Gleichungssystem zu bilden.

Auf diese Weise kamen aber keine Ergebnisse für a und b raus, deshalb frag ich ob mir Jemand einen Tipp geben könnte was der richtige Ansatz ist, ich steh gerade ziehmlich auf dem Schlauch :D

Answer 1

Hier die Berechnungen meines Matheprogramms

a = 1 / 1296
b = 36

Der Graph ergibt eine Bestätigung
der Berechnungen für U.

Answer 2

 U(t)=at^4-2abt^3+ab^2*t^2

U ' (t) =4at^3-6abt²+2ab^2*t

U(18) = 324a*(b-18)^2 = 81

U '(18) = a*(36b^2 - 1944b +23328) = 0

Aus dem 2. folgt  a=0 oder  36b^2 - 1944b +23328 = 0

da a=0 wenig Sinn macht,

bleibt das zweite und das gibt b=18 oder b=36.

Also b=38  (18 macht auch keinen Sinn

und aus 324a*(b-18)^2 = 81

wird   104976*a=81 also  a=1/1296