Potenzreihe mithilfe Partialbruchzerlegung entwickeln

Question

Ich habe die Partialbruchzerlegung berechnet. Es lautet so:

$$ \frac { -1 }{ x-1 } +\frac { -1 }{ { (x-1) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ x-3 }  $$

Aber ab hier konnte ich nicht weitermachen. Ich brauche die Lösungsweg bitte.

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Tipp: geometrische Reihe

Answer 1

Die Partzialbruchzerlegung ist ok.

\( \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k \)

\( \frac{1}{x-3} = -\frac{1}{3} \frac{1}{1-\frac{x}{3}} = -\frac{1}{3} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{x}{3}\right)^k \)

\( \frac{1}{(x-1)^2} =  \frac{x}{(x-1)^2} + \frac{1}{1-x}  = \sum_{k=0}^\infty k x^k + \sum_{k=0}^\infty x^k \)

Jetzt alles zusammen zählen.

Comments

Das habe ich verstanden, aber wie soll ich es bei -1/(x-1)^2 eigentlich anwenden? Was mache ich mit der Quadrat? 

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Du musst die Summen zusammen zählen, also

$$ \sum_{k=0}^\infty x^k -\frac{1}{3} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{x}{3} \right)^k  - \sum_{k=0}^\infty k x^k - \sum_{k=0}^\infty x^k = -\frac{1}{3} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{x}{3} \right)^k  - \sum_{k=0}^\infty k x^k = \\ -\sum_{k=0}^\infty \frac{1+3^{k+1}k}{3^{k+1}}x^k $$