Zwei verschiedene Funktionen angeben mit Integral von 0 bis 4 f(x)d(x)=0

Question

Ich soll zwei verschiedene Funktionen angeben mit dem Integral (weiß nicht wie ich es hier "richtig" schreiben kann) von 0 bis 4 f(x)d(x)=0

Man braucht die Stammfunktionen oder? Soll man sich eine Funktion ausdenken oder wie lässt sich dies lösen?

In den Lösungen steht: z.B. f(x)=(x-2)^2 ; g(x)=x-2

Comments

Integral (weiß nicht wie ich es hier "richtig" schreiben kann) von 0 bis 4 f(x)d(x)=0.

Hast du dx vergessen? Steht da wirklich d(x)  oder g(x) ?

Soll man sich eine Funktion ausdenken oder wie lässt sich dies lösen?

Kann man so machen.

Answer 1

Hi,

steht das wirklich so in der Lösung? Das passt so nicht.

Überlege Dir doch mal, wann sich Flächen gegenseitig aufheben: Das ist der Fall, wenn ein Teil über und ein Teil unter der x-Achse liegen. Besonders einfach ist das bei symmetrischen Funktionen, wo man den ersten und letzten Teil genau gleich groß wählt. Hier ist g(x) = x-2 also eine schöne Wahl. Bei x = 2 haben wir die Symmetrieachse und recht, wie links, sind die beiden Flächen im angesprochenen Intervall diesselben, nur Vorzeichenverkehrt.

Das gilt für alle ungeraden Funktionen, die den Bau (x-2)^n haben. So ist f(x) = (x-2)^3 ebenfalls eine Lösung.

Alles klar?

Visualisiert (die Flächen musst Du Dir angemalt denken)

~plot~ x-2;(x-2)^3; x=0; x=4; [[-1|5|-2,5|2,5]] ~plot~

Grüße

Comments

Sorry mein Fehler, in den Lösungen steht nicht ^2, sondern ^3. Und ehrlich gesagt, ich verstehe es immer noch nicht..

Trotzdem Danke :)

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Welchen Teil verstehst Du denn nicht? Ignoriere doch mal die rote Kurve und schaue Dir bei der blauen Kurve an, welche Flächen wir haben. Die Orientierung (Vorzeichen) der Flächen, je nachdem ob sie über oder unter der x-Achse liegen, ist Dir bekannt? ;)

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Ich verstehe nicht wie Sie anhand der Symmetrie auf die Funktion kommen..hätte eher gedacht, dass man erstmal die Stammfunktion braucht.

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Wir haben hier Punktsymmetrie. Das heißt, wenn wir den Punkt geschickt wählen (in die Mitte des Intervalls), dann ist links genau das Gegenteil von rechts und die Flächen heben sich gegenseitig auf. Weiß man das, dann kann man auf die Stammfunktion verzichten und die Funktionen direkt angeben ;).

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Und wie rechnet man, wenn man es nicht weiß?

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Du suchst Dir eine Art von Funktion aus, mit der Du arbeiten möchtest. Nehmen wir mal was trigonometrisches.

Diese soll bspw die Form sin(a*x) haben:


$$\int_0^4 \sin(ax) \; dx = 0$$

$$\left[-\frac1a\cos(ax)\right]_0^4 = 0$$

$$-\frac1a\left(\cos(4a) - \cos(0a)\right) = 0$$

Letzterer Summand ist 1. Dann kann man nach a umformen. Unter anderem wäre a = π eine Lösung.


Aber ich glaube hier sollte man wirklich das Wissen bzgl der Symmetrie ausspielen ;).

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Integral mit cos und sin hatten wir nicht, aber trotzdem Danke für die Erklärungen.

Answer 2

Ich bin vielleicht ein bißchen spät dran habe die
Aufgabe aber gerade erst gesehen.
Du suchst dir eine Funktion punktsymmetrisch
zum Ursprung.
f ( x ) = x

das Integral dieser Funktion zwischen
-1 und 1 ist Null, denn die Fläche von
-1 bis 0 ist dieselbe wie von 0 bis 1.
( einmal aufzeichnen ).
( Oder auch von -2..0 und 0 ..2 )
Diese Flächen haben sich gegenseitig
auf da eine als positiv berechnet wird,
die andere als negativ.

Jetzt suchen wir eine Funktion die zur Mitte
des Intervalls [ 0 .. 4 ] zum Punkt ( 2 | 0 )
punktsymmetrisch ist

Dies erreicht man durch Verschiebung längs
der x-Achse mit f ( x ) = x - 2.
( einmal zeichnen )

Soviel zunächst.
Bei Bedarf nachfragen.

Answer 3

Auf die einfachen Fälle mit einem punktsymmetrischen Integranden über einem dazu passenden symmetrischen Intervall wurde ja schon eingegangen. Es geht aber auch so, wie von dir vorgeschlagen, über die Bildung einer Stammfunktion. Dazu formuliert man eine Integralgleichung, zum Beispiel diese hier:

$$\int_0^4{\left(x^2+a\right)}\text{ d}x=0$$Ausrechnen der linken Seite und Auflösen liefert \(a=-16/3\).

Das ist aber nur ein einfaches Beispiel, es sind noch ganz andere Varianten möglich.