Das maximale Volumen eines Quaders im Oktaeder?

Question

Ich habe eine Matheaufgabe zu Analytischer Geometrie bei der ich mir sehr unsicher bin, was die Lösung angeht:

Einem regelmäßigen Oktaeder mit der Kantenlänge K= 5LE soll ein Quader so eingeschrieben werden, dass seine Ecken auf den Seitenflächenhöhen des Oktaeders liegen. Bestimmen Sie, welcher dieser Quadern das max. Volumen hat.

Ich habe mir gedacht, dass ich einen Würfel als Quader angeben kann, dessen Ecken auf den Schnittpunkten der Seitenhalbierenden der Dreicke liegen.

Nun bin ich mir bei meinem Lösungsansatz nicht sicher und weiß nicht, wie ich das begründen/ beweisen könnte.

Kann man sowas rechnerisch beweisen?

Ps. Die Aufgabe basiert auf einer vektoriellen Darstellung eines regelmäßigen Oktaeders, dessen Mittelpunkt auf dem Koordinatenursprung liegt.

Ich würde mich unglaublich über ihre Hilfe freuen.

Answer 1

Du sollst das wie eine Extremwertaufgabe behandeln.

Das sich am Ende ein Würfel ergibt ist übrigens richtig.

Versuche zunächst zu zeigen, dass die Deckfläche des Quaders unter der Bedingung das es ein Rechteck ist dessen Ecken die Seitenflächen berühren, eine horizontale Ausrichtung haben muss.

Comments

Nun dies erübrigt sich eigentlich mit der Tatsache, dass die Ecken auf den Seitenflächenhöhen liegen oder nicht?

Oder kann man das rechnerisch beweisen, z.B. mit Vektoren?

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Und ich weiß, dass die Hauptbedingung V= a*b*c ist. Aber ich weiß nicht wirklich wie ich das darstellen oder übertragen soll, vor allem die NB.

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Nun dies erübrigt sich eigentlich mit der Tatsache, dass die Ecken auf den Seitenflächenhöhen liegen oder nicht?

Wie meinst du das?

Einer meiner Schüler hatte letztes Jahr diese Aufgabe als Präsentationsaufgabe. Du kannst das rechnerisch zeigen.

Oder besser man kann dies rechnerisch zeigen. Ob du es zeigen kannst müsstest du erst zeigen.

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Ich habe jetzt einige Ansätze gemacht und auch eine Lösung, bei der ich mir nicht ganz sicher bin.

Ich habe dazu die unten verzeichnete Zeichnung verwendet.

Als die Pyramide habe ich die Seitenflächenhöhen verwendet, in denen der Quader diese Position haben muss.

Ich habe folgenede Größen benutzt: L = 5*sqrt(3) / 2 , a= 5* sqrt(2) / 2

Als Volumenformel ergab sich folgendes:

V(x) = 4* (0,25 * x)^2 * ( 5√2 / 2 - x)

= x^2 * (5√2 / 2 -x)

V(x) = -x^3 + 5√2 / 2 *x^2

Davon bildete ich dann die 1. und 2. Ableitung und setzte den passenden x-Wert in  die Volumenformel ein.

Als maximales Volumen bekam ich 6, 547285011 VE heraus.

Auf den Oktaeder gerechnet beträgt das max. Volumen 6, 547285011 * 2 VE.

Wäre das richtig oder habe ich etwas übersehen?

Würde mich sehr freuen, wenn sie mir ggf. Tipps oder Verbesserungen geben würden.

Ich habe mich an dieser Seite orientiert:

http://gfs.khmeyberg.de/1415/1415Klasse10eMa/1415UnterrichtMathematik10eFunktionsuntersuchungen.html

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Deine 1. Aufgabe war es ein Oktaeder vektoriell darzustellen. Hast du das nicht gemacht? Dann würde ich eh eine schlechte Note geben.

Deine 2. Aufgabe war es ein Quader so einzubeschreiben, dass die Höhen auf den Höhen der Seitenflächen liegen. Auch dass hast du missachtet.

Was erwartest du dafür für eine Zensur?