Differenzierbarkeit eines Integrals zum Quadrat

Question

Es seien

F(x) = $$\int_{-1}^{1} \frac{e^{-x^2 * (1+t2)}}{1+t2}dt $$

G(x):= $$\int_{-x}^{x} e^{-t^2}dt $$

Ich soll nun zeigen, dass F und G differenzierbar sind und für alle $$x \in (0, \infty)$$ die Identität F'(x)= G'(x)/2 gilt.

Ich habe bereits gezeigt, dass F diffbar ist, indem ich gezeigt habe, dass f, also das IN dem Integral ($$ \frac{e^{-x^2 * (1+t^2)}}{1+t^2}$$) stetig partiell diffbar ist. Die Ableitung von F(x) habe ich als $$-2e^{x^2} \int_{-1}^{1} e^{u^2}du$$ bestimmt. Wenn ich aber G'(x) berechnen will, stoße ich auf ein Problem. Wenn ich g, also e-t^2 partiell nach x ableite, kommt doch 0 raus, somit wäre dann auch meine Ableitung von G'(x) nach Kettenregel null. Wo ist jetzt genau der Fehler ?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Quadrat eines Integrals

Stichworte: integral,integralrechnung,integration

Ana2 Blatt07.pdf (0,3 MB)

Aufgabe 3a)

Da ist G(x) als das Quadrat eines Integrals definiert. Wie soll ich das verstehen, beziehungsweise damit rechnen ?
Wie finde ich die Partiellen Ableitungen von g, wenn g der Ausdruck unter dem Integral ist?
Wie finde ich die Ableitung von G ? Ganz normal mit der Differentiation von Parameterabhängigen Integralen ?

MfG

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Da ist G(x) als das Quadrat eines Integrals definiert. Wie soll ich das verstehen, beziehungsweise damit rechnen ?

Integral ausrechnen (zumindest in Gedanken) und dann das Resultat, das noch von x aber nicht von t abhängt, quadrieren. 

Aus Symmetriegründen kannst du übrigens G(x) = (2 * ∫_(0)^x e^{-t^2} dt) ^2

G(x) = 4 ( ∫_(0)^x e^{-t^2} dt) ^2 denken. 

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Also quasi die ganze Zeit normal INNERHALB des Quadrates rechnen ?

Okay, ich werds mal ausprobieren, vielen dank;)

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Bitte.

Du wirst keine "Stammfunktion" finden. Dennoch kannst du nach der oberen Grenze ableiten. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis#Der_Satz

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Also da verstehe ich jetzt leider nicht, was mit " nach der oberen Grenze ableiten " gemeint ist.

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@racine:

Ziel der Hausaufgaben ist es, sich mit den Aufgaben auseinanderzusetzen. Dabei darf man sich ( meist sogar: soll) Hilfe bei Kommilitonen oder von außen suchen, wenn man nicht weiter kommt. Auch dabei setzt man sich auseinander, wenn man nicht gerade nur abschreibt.

@akition:

Es ist bei uns gemäß den Schreibregel gute Sitte, die Aufgaben abzuschreiben. Keiner drückt gerne auf einen fremden Link. Zudem würde ein Copy+Paste von etwaigen Phrasen dem Helfer die Arbeit erleichtern ;).

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Habt ihr das nicht in der VL gemacht?

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Also  F habe ich abgeleitet mit der Formel der Differntiation von Parameterintegralen und bekomme da das Gaußsche Fehlerintegral raus.

-2e^{x^2} * Integral von -1 bis 1 von (e^{u^2} du). Ich glaube, darauf wollten die auch hinaus. Die Regeln sind mir durchaus bekannt, nur der Ausdruck "Nach der Oberen Grenze ableiten " hatte mich irgendwie verwirrt :D

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Aber G ist doch keine Verkettung von zwei Funktionen oder? Ist doch ein normales Integral, wenn ich INNERHALB des Quadrats rechnen soll.

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Ich habe jetzt erstmal die beiden partiellen Ableitungen von der Funktion unter dem Integral, g genannt, berechnet. Sind ja nach x abgeleitet 0 und nach t abgeleitet : -2t*e^{t^2}.Damit kann ich dann ja sagen, dass g stetig partiell diffbar ist, also G auch stetig partiell diffbar ist und somit generell differenzierbar. Die Ableitung bleibt dann ja noch zu berechnen. Laut Differntiation von Parameterintegralen Ist G'(x) ja dasselbe, wie wenn ich g differenziere (nach x) und dann das Integral darüber ausrechne. Aber wenn ich g nach x differenziere, hab ich ja 0. Wo ist hier genau mein Denkfehler ?

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@Fakename :

Die Formel ist sicher hilfreich, aber ich glaube, dass ich die so nicht verwenden darf, weil wir das in der Vorlesung nicht definiert haben.

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Vielleicht kann mir dennoch jemand helfen, der auch helfen will:

Wenn ich jetzt doch auch die Kettenregel anwende bekomme ich doch  durch Differntiation von Parameterintegralen wieder die 0 raus, weil ich e^{t^2} nach x differenziere, da G(x) ja von x abhängt. Das würde mir die Kettenregel ja aber auch auf 0 hauen. 

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Hab leider das Einfügen verhauen :/ Hier also nochmal richtig:

Es seien

F(x) = $$\int_{-1}^{1} \frac{e^{-x^2 * (1+t2)}}{1+t2}dt $$

G(x):= $$\int_{-x}^{x} e^{-t^2}dt $$

Ich soll nun zeigen, dass F und G differenzierbar sind und für alle x \in (0, \infty) die Identität F'(x)= G'(x)/2 gilt.

Ich habe bereits gezeigt, dass F diffbar ist, indem ich gezeigt habe, dass f, also das IN dem Integral ($$ \frac{e^{-x^2 * (1+t^2)}}{1+t^2}$$) stetig partiell diffbar ist. Die Ableitung von F(x) habe ich als $$-2e^{x^2} \int_{-1}^{1} e^{u^2}$$du bestimmt. Wenn ich aber G'(x) berechnen will, stoße ich auf ein Problem. Wenn ich g, also e^{-t^2} partiell nach x ableite, kommt doch 0 raus, somit wäre dann auch meine Ableitung von G'(x) nach Kettenregel null. Wo ist jetzt genau der Fehler ?

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Wäre super, wenn mir jemand erklären könnte, was ich da falsch verstanden habe.