Wie berechnet man den Grenzwert von dieser Funktion?

Question

$$ x->3\quad lim\frac { 1+sin\frac { \pi  }{ 2 } x }{ { x }^{ 2 }-6x+9 }  $$

Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe bitte helfen?

Answer 1

Wende L'Hospital solange an, bis du beim Einsetzen der 3 für x nicht mehr durch Null teilst. Also

$$ \lim_{x \to 3}\frac{1+\sin\Big(\frac{\pi}{2}x\Big)}{x^2-6x+9}\stackrel{L'H}{=}\lim_{x \to 3}\frac{\frac{\pi}{2}\cos\Big(\frac{\pi}{2}x\Big)}{2x-6}\\\stackrel{L'H}{=}\lim_{x \to 3}\frac{-\Big(\frac{\pi}{2}\Big)^2\sin\Big(\frac{\pi}{2}x\Big)}{2} =\frac{-\Big(\frac{\pi}{2}\Big)^2\sin\Big(\frac{\pi}{2}3\Big)}{2}=\frac{\pi^2}{8}$$

Comments

Wie kommst du auf -(pi/2)^2

und steht beim vorletzten sin(pi/2*3) oder ^3?

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-(pi/2) deshalb, weil cos abgeleitet wird und wegen Kettenregel wird dann -sin mit einem weiteren Faktor (pi/2) also mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.

Es soll sin(3/2*pi) heißen.