Zyklische Prozesse Zusammenhang mit Einheitsmatrix

Question

die Matrix P

0	0	a
b	0	0
0	c	0

Hat einen Zyklus der Länge 3:

P^3

a*b*c
	a*b*c
		a*b*c

Damit es solch einen Zyklus der Länge 3 entstehen kann, muss a*b*c=1 ergeben. Damit hätten wir eine Einheitsmatrix. Sei v0 der Startvektor, so gilt

m^3*v0=v0

1.Bedeutet das, dass bei einer Matrix P mit einem Zyklus der Länge n immer eine Einheitsmatrix nach n Zyklen entsteht, also das

P^n=E

gilt, wobei E die Einheitsmatrix darstellt?

2. Bei dem gleichen Aufbau wie bei Matrix m ist die Länge des Zyklus n identisch mit dem Aufbau der Matrix? Also eine n×n-Matrix hat stets den Zyklus der Länge n, wenn die Produkte in der Hauptdiagonalen 1 ergeben (Einheitsmatrix)? Oder gibt es auch Matrizen mit dem Aufbau n×n und einem Zyklus der Länge m?

3. Oder gibt auch auch eine andere Bedingung für die Entstehung eines Zyklus der Länge n unabhängig davon, wie die Matrix aufgebaut ist und die Matrix^n nicht geich der Einheitsmatrix ist?

Answer 1

Untersuche die Matrix

[0, 2, 0, 0;
0.5, 0, 0, 0;
0, 0, 0, 2;
0, 0, 0.5, 0]

Damit man einen Zyklus der Länge n erhält muss auf jeden Fall M^n = E (Einheitsmatrix) sein. Es geht nicht wenn M^n dann keine Einheitsmatrix ist.

Comments

Also bestätigst du, dass eine n×n-Matrix, falls Sie einen Zyklus hat, der Zyklus stets eine Länge von n hat und dass M^n=E ist?

Dann wäre ja alles perfekt.

Dann gilt nur noch zu klären, ob Matrizen mit der Struktur m×n ebenfalls einen Zyklus haben können, und wenn ja, welcher Länge - der Länge n oder m? Kann man das mathemathisch irgendwie zeigen, welche Matrix nach bestimmten Übergängen eine Hauptdiagonale bildet und damit eine Einheitsmatrix bilden kann, wenn die gegeben Werte jeweils 1 in der Hauptdiagonalen ergeben?

Wenn ich das verstanden habe, bin ich um einiges sicherere und dafür danke ich dir im Voraus.

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Ich glaube, ich kenne die Antwort darauf:

Eine Einheitsmatrix ist stets quadratisch, d.h. mit dem Aufbau n×n. So kann eine Matrix m×n keine Einheitsmatrix hervorbringen, da sie nicht quadratisch ist.

So korrekt?

Falls ja, frag ich mich, wieso bei einer Matrix n×n, der Zyklus stets eine Länge von n hat. Gibt es da einen Beweis für? Denn ich glaube nicht, dass eine 4×4 Matrix jemals einen Zyklus der Länge ungleich 4 haben kann.

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Denn ich glaube nicht, dass eine 4×4 Matrix jemals einen Zyklus der Länge ungleich 4 haben kann.

Im Beispiel oben ist M^2=E.

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Eine Einheitsmatrix ist stets quadratisch, d.h. mit dem Aufbau n×n. So kann eine Matrix m×n keine Einheitsmatrix hervorbringen, da sie nicht quadratisch ist.

Das hast du richtig verstanden. Das andere noch nicht

Denn ich glaube nicht, dass eine 4×4 Matrix jemals einen Zyklus der Länge ungleich 4 haben kann.

Das Einfachste Beispiel wäre die 4x4-Einheitsmatrix, die natürlich einen Zyklus der Länge 1 ≠ 4 ergibt.

Ansonsten verweise ich nochmal darauf mein obiges Beispiel zu untersuchen. Das hast du offensichtlich noch nicht gemacht.

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Hm... gibt es da eine Regel, wann ein Zyklus einer bestimmten Länge n entsteht? Anscheinend stimmt es nicht dass eine n×n Matrix stets einen Zyklus der Länge n hat.

EDIT: Das obige Beispiel habe ich untersucht und setzte direkt 4 ein. Da 4 ein Vielfaches von 2 ist kam ebenfalls eine Einheitsmatrix raus, aber jetzt weiß ich, dass es sich um einen Zyklus der Länge 2 handelt, was mich zu der obigen Frage geleitet hat.

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Hm... gibt es da eine Regel, wann ein Zyklus einer bestimmten Länge n entsteht?

Ein Zyklus der Länge n entsteht, wenn

M^n = E

gilt, wobei E die Einheitsmatrix ist.

Du solltest also Potenzen von M untersuchen. Und nicht einfach nur eine Potenz untersuchen.

Grundsätzlich gilt. Wenn in jeder Zeile und in jeder Spalte nur eine Zahl ungleich 0 ist kann man ein Zyklisches Verhalten vermuten.

Das kann dabei eine zyklisch konstante, zyklisch zunehmende oder zyklisch abnehmende Entwicklung sein.

Bei letzteren beiden meine ich, dass eine Potenz der Matrix ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.

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Die letzte Frage zu diesem Thema, dann ist aber auch schluss hier :D.

Kann man ein zyklisches Verhalten nur vermuten, oder direkt anhand bestimmter Eigenschaften einer n×n Matrix zyklisches Verhalten erkennen bzw. erkennen, dass es keines gibt?

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Grundsätzlich gilt. Wenn in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine Zahl ungleich 0 ist kann man ein zyklisches Verhalten vermuten. Am Graphen erkennst du ein zyklisches Verhalten wenn die Stufen über Ringe miteinander Verbunden sind.

Ich glaube wenn in einer Spalte mehr als ein Wert ungleich 0 auftritt, kann die Matrix schon nicht mehr zyklisch sein.