maximale Untermenge bestimmen

Question

Aufgabe: Bestimmen sie die maximale Untermenge linear unabhängiger Vektoren aus folgender Familie, und schreiben sie die restlichen Vektoren als Linearkombinationen.

vektor1= (2, -1, 3, 4, -1), vektor2= (1, 2, -3, 1, 2), vektor3= (5, -5, 12, 11, -5) und vektor4= (1, -3, 6, 3, -3).

Ich weiß nicht was hier mit maximaler Untermenge gemein ist. Linear unabhängig bedeutet, dass die Vektoren Null ergeben müssen. Aber wie hilft mir das im Zusammenhang weiter?

Answer 1

Es wird einfach danach gefragt, welche dieser Vektoren linear unabhängig sind, bzw. mit welchen dieser Vektoren lässt sich der Nullvektor nur durch die triviale Linearkombination gewinnen.

Dafür stellst du ein LGS auf und führst es durch Umformungen in Zeilenstufenform über. In den Zeilen wo nur noch Nullen stehen waren ja anfangs auch noch ,,andere'' Einträge von einem Vektor gewesen. Gerade diese Vektoren schmeißt du nun alle raus, denn diese sind nicht linear unabhängig. Das ganze sieht dann so aus.

$$ \begin{pmatrix}2& -1& 3& 4& -1\\1&2& -3& 1& 2 \\5& -5& 12& 11& -5 \\1& -3& 6& 3& -3 \end{pmatrix} $$

Operationen:

2*II-1*I

2*III-5*I

2*IV-1*I

Dann bekommt man

$$ \begin{pmatrix}2& -1& 3& 4& -1\\0&5& -9& -2& 5 \\0& -5& 9& 2& -5 \\0& -5& 9& 2& -5 \end{pmatrix} $$

Operationen:

II+III

II+IV

Dann bekommt man:

$$ \begin{pmatrix}2& -1& 3& 4& -1\\0&5& -9& -2& 5 \\0& 0& 0&0& 0\\0& 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} $$
Das heißt also, das die beiden Vektoren v3 und v4 nicht linear unabhängig sind. Sie werden also rausgeschmissen und man hat dann nur noch eine Familie von zwei Vektoren v1 und v2, die linear unabhängig sind. Mit ihnen kann man eine Linearkombination bilden, sodass man daraus wieder v3 und v4 gewinnen kann. Das sieht dann so aus:

$$ 3\cdot\begin{pmatrix}2\\ -1\\3\\ 4\\ -1 \end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\ -3\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\ -5\\12\\ 11\\ -5 \end{pmatrix} $$
$$ 1\cdot\begin{pmatrix}2\\ -1\\3\\ 4\\ -1 \end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\ -3\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ -3\\6\\ 3\\ -3 \end{pmatrix} $$