Potenz von 3 100ste stelle

Question

Wie kann ich das ausrechen?

Die wachsende Zahlenfolge 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, ... (=30, 31, 30 + 31, 32, 30 + 32, 31 + 32, 30 + 31 + 32, ... ) besteht aus Potenzen der Zahl 3 sowie aus allen möglichen Summen verschiedener solcher Potenzen.

Bestimme die hundertste Zahl ABC dieser Folge.

Danke

Comments

Warum tippst Du Deine Frage nicht einfach in eine Suchmaschine?

Answer 1

Deine Folge enthält genau die natürlichen Zahlen, die in ihrer Ternärdarstellung (bzw. zur Basis 3) nicht die Ziffer 2 enthalten. Alle Folgenglieder sind somit von der Form

$$\sum_{k = 0}^n a_k 3^k$$

mit \(a_k \in \{ 0, 1 \}\). Wir können jedes Folgenglied mit einer Zahl \( \overline{a_na_{n - 1}\dots a_0}\) im Binärsystem identifizieren und diese Zahl ist genau der Index (warum?).

Der Rest ist eine einfache Rechnung: Wegen \( 100 = 2^6 + 2^5 + 2^2 \) ist das 100. Folgenglied gleich \( 3^6 + 3^5 + 3^2 = 981 \).