Wahrscheinlichkeit, Median und Quantil mithilfe Erwartungswert und Variany berechnen

Question

(a) Das Gewicht X (in mg) einer Insektenart sei normalverteilt mit Erwartungswert
15 und der Varianz 9. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das
Gewicht eines zuf¨allig ausgew¨ahlten Insekts dieser Art zwischen 12 mg und
20 mg? Bestimmen Sie zudem den Median sowie das 25%- und das 75%-
Quantil von X.
(b) Bei einem Gewinnspiel kann man fur einen Einsatz von 1 e von einem Zufallsgenerator
Zufallszahlen von 1 bis 100 generieren lassen. Bei der Zahl 55
erh¨alt man 50e Gewinn, bei 11, 22 und 33 nur 5e, bei den Zahlen 44, 66, 77,
88 jeweils 3e Gewinn und bei 1, 99 und 100 zumindest noch 1e. Ansonsten
verliert man seinen Einsatz. Prufen Sie, ob sich eine Teilnahme am Spiel ¨
lohnt, indem Sie den Erwartungswert der entsprechenden Zufallsvariablen
berechnen. Berechnen Sie zus¨atzlich auch die Standardabweichung.

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Answer 1

Hallo HolyWurst,

Das Gewicht X (in mg) einer Insektenart sei normalverteilt mit Erwartungswert 15 und der Varianz 9. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Gewicht eines zuf¨allig ausgew¨ahlten Insekts dieser Art zwischen 12 mg und
20 mg?

Bestimme die Standardabweichung \(\sigma\). Dafür musst du nur die Quadratwurzel aus der Varianz \(\sigma^2\) ziehen:$$\sigma=\sqrt{9}=3$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Insekts dieser Art zwischen 12mg und 20mg liegt berechnest du wie folgt:$$P(12≤X≤20)≈ \Phi\left(\frac{20-15}{3}\right)-\Phi\left(\frac{12-15}{3}\right)$$ Rechne nun die Werte in der Klammer aus:$$P(12≤X≤20)≈ \Phi\left(\frac{5}{3}\right)-\Phi\left(-1\right)$$$$P(12≤X≤20)≈ \Phi\left(\frac{5}{3}\right)-(1-\Phi\left(1\right))$$ Werte in einer Tabelle nachschalgen und ausrechnen:$$P(12≤X≤20)≈ 0,95154-(1-0,84134)$$$$P(12≤X≤20)≈ 0.79288$$

Bestimmen Sie zudem den Median

Bei der Normalverteilung ist der Erwartungswert gleich der Median. Also ist der Median \(\tilde{x}\) gleich \(15\).

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vielen Dank schonmal für die Hilfe.

Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht eines zufällig ausgewählten Insektes dieser Art zwischen 12 und 20mg liegt bei 79,2 %, richtig?

Was mir noch unklar ist:

P(12≤X≤20)≈Φ(5/3)−Φ(−1)

P(12≤X≤20)≈Φ(5/3)−(1−Φ(1))

Wieso bzw. woher kommt die 1 in der zweiten Gleichung?

Ansonsten hab ich es soweit verstanden!

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Hmm, das macht man einfach so...

Φ(-3)=(1-Φ(3))

etc.