\(\ker(D)\) ist der Kern und \(\text{im}(D)\) ist das Bild der Matrix \(D\). Lt. Definition ist der Kern die Menge aller Vektoren, die als Ergebnis den Nullvektor ergeben, wenn man mit einen von ihnen die Matrix multipliziert. Es ist also z.B.
$$D \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = 0$$
Diese Multiplikation würde aber auch die zweite Spalte von \(D\) liefern. Daraus folgt, dass alle Elemente der zweiten Spalte von \(D\) =0 sind. Genau das gleiche gilt für den zweiten Vektor des Kerns, die Elemente der dritten Spalte sind ebenso =0.
Das Bild \(\text{im}(D)\) einer Matrix spannt den Unterraum auf, in dem sich alle Vektoren befinden, die aus einer Multiplikation von \(D\) mit einem beliebigen Vektor hervor gehen. Da nur noch zwei Spalten in \(D\) übrig bleiben, die nicht immer =0 sind, kann man also die beiden Vektoren als Spaltenvektoren übernehmen. So kann \(D\) z.B. sein:
$$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Du kannst auch die erste und vierte Spalte vertauschen oder jede der Spalten mit einem Faktor multiplizieren. In jedem Fall erhältst Du ein \(D\) mit den oben angegebenen Eigenschaften. Oder jede der beiden Spalten kann durch eine Linearkombination der beiden Vektoren aus dem Bild ersetzt werden. Die Vektoren der ersten und vierten Spalte müssen nur linear unabhängig von einander sein.
Gruß Werner
