Wahrscheinlichkeit, dass man in diesem Jahr mit höchstens einem Hurrikan rechnen kann?

Question

Für die Hurrikane der Kategorie 5 (größte Kategorie) im Atlantik gab es zwischen 1955 und 2005 eine Häufigkeit von etwa einem Hurrikan in 3 Jahren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man in diesem Jahr mit höchstens einem Hurrikan rechnen, wenn man davon ausgeht, dass sich die Häufigkeit für das Auftreten von Hurrikans nicht geändert hat?

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Answer 1

Ich würde die Poisson-Verteilung benutzen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung

P(X <= 1) = ∑ (k = 0 bis 1) ((1/3)^k/k!·e^{- 1/3}) = 0.9554

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Woher weiß man, dass die angewendet werden soll? Ich kann mir vorstellen, dass das bei dir auch bisschen Bauchgefühl ist, weil du bestimmt schon viele Aufgaben zur Poisson-Verteilung gerechnet hast.

Bist doch Nachhilfelehrer? Ich sehe nur im  Internet:

Die Poisson-Verteilung wird auch manchmal als "Verteilung der seltenen Ereignisse" bezeichnet.

Wenn eine statistische Masse (auch Grundgesamtheit oder Population genannt), daher die Menge aller untersuchten Dinge/Personen, sehr groß ist, die Wahrscheinlichkeit aber, dass ein Ereignis eintritt, gleichzeitig sehr klein, kann statt der Binomialverteilung auch die Poisson-Verteilung verwendet werden.

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Du hast keine explizite Anzahl an Versuchen. Ein Hurrikan kann Theoretisch 0 mal bis unendlich mal auftreten. Gegeben ist der Erwartungswert mit 1 Hurrikan in 3 Jahren oder 1/3 Hurrikan pro Jahr.

Das sind Merkmale, die auf eine Poissonverteilung hindeuten.

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Interessant. Ich wollte nämlich erst die Binomialverteilung von \(0\) bis \(\infty\) nehmen. Aber es gibt wirklich unzählig viele Verteilung. Seit neustem kenne ich z. B. die "Arkussinus-Verteilung" :D

Ich würde am liebsten nur mit Verteilungen rechnen, da ich es LIEBE einfach nur die Formeln zu kennen. Die Geometrische Verteilung ist z. B. auch ganz gut.

Du kennst doch bestimmt dieses "Beanboozle" oder so in der Art, wo man so ekelhafte und gut-schmeckende Jellybeans bekommt. Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine ekelhafte Bohne bekommt liegt bei 5%. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man im fünften Zug die erste ekelhafte Bohne zieht.

geom(k;p)=(1-p)^k-1*p

geom(5;0.05)=(1-0.05)^5-1*0.05

geom(5;0.05)≈4.07%

Natürlich könnte man auch

0.95*0.95*0.95*0.95*0.05 rechnen, aber wo bleibt der Spaß? :D

(Ich weiß, dass das quasi identisch ist, aber einsetzen macht soviel Spaß)

Answer 2

Der Erwartungswert \(\lambda\) für einen Hurrikan in einem zufälligen Jahr liegt bei \(\frac{1}{3}\). Verwende nun die Poisson-Verteilung:$$P(X≤1)=\sum_{x=0}^{1}{\frac{\lambda^x}{x!}}\cdot e^{-\lambda}$$ Setze ein und erhalte:$$P(X≤1)=\sum_{x=0}^{1}{\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^x}{x!}}\cdot e^{-\frac{1}{3}}$$$$P(X≤1)\approx 0.9553750$$

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EDIT:

Habe das \(^x\) vergessen! ist nun verbessert.