Bestimmen Sie die Konfidenzintervalle.

Question

Beim Wirkstoffgehalt eines Medikaments in Tablettenform gibt es produktionsbedingt zufällige Schwankungen, die normalverteilt sind. Zur Kontrolle werden aus einer Tagesproduktion 20 Tabletten zufällig entnommen und es wird ein durchschnittlicher Wirkstoffgehalt von 310.75 mg ermittelt. Aus langjährigen Erfahrungen mit Produktionsprozessen dieser Art sei bekannt, dass die Varianz 400 mg beträgt. Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau von 95% für den Erwartungswert des Wirkstoffgehalts.

Bei einem Versuch wurde die Reaktionszeit von 81 zufällig ausgewählten Probanden auf ein bestimmtes visuelles Signal gemessen. Die hierbei ermittelte durchnittliche Reaktionszeit lag bei 0.8 Sekunden. Für die Varianz ergab sich aus den Daten ein Schätzwert von 0.04. Geben Sie unter der Annahme, dass die die Reaktionszeit beschreibende Zufallsvariable normalverteilt ist ein 99%-iges Konfidenzintervall für den Erwartungswert an.

Answer 1

Wir haben als Maximum-Likelihood-Schätzer also \(\bar{x}=310.75\) und die Varianz \(\sigma^2=400\). Du musst nun die Standardabweichung berechnen, was natürlich kein Problem ist:$$\sigma=\sqrt{400}=20$$ Du möchtest also ein Kofnizdentintervall mit dem Konfidenzniveau von \(\alpha=0.05\). Das \(1-\alpha\) Konfidenzintervall für \(\mu\) lautet:$$\left[\bar{x}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}};\bar{x}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$$ Hierbei ist \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) das \(1-\frac{\alpha}{2}\)-Quantil der Standardnormalverteilung. Den Wert kannst du einer Tabelle ablesen und erhältst \(1.959960\). Nun setzt du einfach in die Tabelle ein:$$\left[310.75-1.959960\cdot \frac{20}{\sqrt{20}};310.75+1.959960\cdot \frac{20}{\sqrt{20}}\right]$$ Ich erhalte bei richtiger Eingabe:$$\left[301.9848;319.51521\right]$$ Bitte kontrolliere deine Ergebnisse, da ich mich auch mal verrrechnet haben könnte. Und bei der zweiten Aufgabe hilfst du auch ein bisschen mit! ;-)

Comments

Achso nicht, dass du durchdrehst. 95%iges Konfidenzintervall bedeutet:$$\alpha=1-0.95=0.05$$

Der Quantilwert wurde hier abgelesen. Guck mal, was \(1-\frac{0.05}{2}=0.975\) in der Tabelle entspricht.