Konvergenzradius mit Wurzelkriterium

Question

Also diese Reihe ist gegeben:

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } { (\sqrt { { n }^{ 2 }+n }-\quad \sqrt { { n }^{ 2 }+1 } })^{ n }\quad .\quad { (x+1) }^{ n } }$$

Ich habe den Limes --> inf und danach den Konvergenzradius gefunden und es lautet so:

$$\frac { 2 }{ \left| x+1 \right| }$$

Aber jetzt weiß ich nicht wie ich weitermachen soll, weil im Konvergenzradius ein x steht.

Normalerweise würde ich diese Zahl (a+r) (a-r) machen, aber jetzt weiß ich nicht, was ich mit den x machen soll.

Answer 1

du hast ja zuerst mit dem Wurzelkriterium den Grenzwert bestimmt. Der lautet ja

$$\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\Bigg|\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } { (\sqrt { { n }^{ 2 }+n }-\quad \sqrt { { n }^{ 2 }+1 } })^{ n }\quad .\quad { (x+1) }^{ n }\Bigg|}=...=\frac{|x+1|}{2}\stackrel{!}{<}1$$

Dieser muss echt kleiner 1 sein, damit die Reihe auch konvergiert (sogar absolut!). Nun musst du alle Werte x finden, die die Ungleichung rechts erfüllen.

$$\frac{|x+1|}{2}<1 \quad \Longleftrightarrow \quad |x+1|<2$$

Fallunterscheidung:
$$(1)\quad x+1\geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x\geq-1\\(2)\quad x+1< 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x<-1\\[35pt](1)\qquad x+1<2 \quad \Longleftrightarrow \quad x<1 ∧ x\geq -1 \quad \Leftrightarrow \quad \underline{-1\leq x<1}\\(2)\quad -x-1<2 \quad \Longleftrightarrow \quad x>-3 ∧ x< -1 \quad \Leftrightarrow \quad \underline{-3< x<-1}$$

Also ergibt sich folgende Lösungsmenge

$$x\in ]-3,1[=]-1-2,1+2[,$$welche die Ungleichung erfüllt. Und hier sieht man auch gleich, was der Konvergenzradius ist. Er lautet:

$$R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=2$$

Comments

Tippfehler bei der Lösungsmenge. Sie muss so lauten

$$x\in ]-3,1[=]-1-2,-1+2[$$

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Vielen vielen Dank für diese ausführliche Antwort!

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Habe aber noch eine Frage:

Wenn wir mal die Ranktpunkte untersuchen...

Die Randpunkten sind +1, und -3. Was muss ich jetzt machen? Ich glaub, ich muss die Konvergenz bei diesen Punkten untersuchen, aber wie?

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wenn man auf Ränder untersuchen will, dann musst du einfach nur die Ränder einsetzen und schauen, ob die Reihe dann konvergiert oder divergiert.

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Welche Kriterium verwendet man aber für die Konvergenzuntersuchung? Kann man wieder Wurzel- oder Quotientenkriterium verwenden?

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Das kannst du machen. Du brauchst aber das jetzt nicht vom neuen anfangen auszurechnen, denn du hast ja x schon mit drin. Du musst also nur die x-Werte dort einsetzen und schauen, ob der Grenzwert dann trotzdem ≤ 1 ist.