Gegeben sind 2 rote, 3 blaue und 5 grüne Bälle. Wie viele Kombinationen mit k Bällen gibt es?

Question

Das ist die Aufgabenstellung. Ich kann irgendwie ohne k nicht viel Anfangen. Und zeichnerisch alle Möglickeiten mit k=1., k =2, k=3, k=4....usw. ist kaum möglich bzw. ich mache da immer irgendwelche Fehler. Also wie kommt man rechnerisch auf das Ergebnis?

Habe es mit dem Binomialkoeffizienten 3 über k versucht aber ab K=4 klappt das nicht so...

Comments

hier könnte eventuell der "Multinomialkoeffizient" behilflich sein.

MfG

Mister

Answer 1

Weiß nicht, ob das da so machen kann. Folgende Überlegung: Ich stelle mir die hier vorliegende Menge als eine Art Reihe vor, in der 2 Glieder rot, 3 Glieder blau und 5 Glieder grün sind. Im Prinzip habe ich dann drei Klassen mit einer unterschiedliche Anzahl von Elementen. Die Gesamtanzalh der Elemente ist 10. Für solche Aufgabenstellungen kann man den Polynominalkoeffizienten bemühen. Für nichtnegative ganze Zahlen k₁ ... k_z und n= k₁ + ... + k_z ist er definiert als

 

Mit n =10, k₁ = 2, k₂ = 3 und k₃ = 5 würde sich als Ergebnis 2520 ergeben.

Comments

das wären die permutationen, hier ist aber nach den kombinationen für k=1, k=2, ... gefragt worden.

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ich konnte nirgends eine formel für diesen aufgabentyp ausfindig machen.

da hilft wohl tatsächlich nur selber zählen, oder ein programm zu benutzen.


n:= anzahl der kombinationen
k:= anzahl gewählter bälle

k = 1
n = 3
{r} {b} {g}

k = 2
n = 6
{r,r} {r,b} {r,g} {b,b} {b,g} {g,g}

k = 3
n = 9
{r,r,b} {r,r,g} {r,b,b} {r,b,g} {r,g,g} {b,b,b} {b,b,g} {b,g,g} {g,g,g}

k = 4
n = 11
{r,r,b,b} {r,r,b,g} {r,r,g,g} {r,b,b,b} {r,b,b,g} {r,b,g,g}
{r,g,g,g} {b,b,b,g} {b,b,g,g} {b,g,g,g} {g,g,g,g}

k = 5
n = 12
{r,r,b,b,b} {r,r,b,b,g} {r,r,b,g,g} {r,r,g,g,g} {r,b,b,b,g} {r,b,b,g,g}
{r,b,g,g,g} {r,g,g,g,g} {b,b,b,g,g} {b,b,g,g,g} {b,g,g,g,g} {g,g,g,g,g}

k = 6
n = 11
{r,r,b,b,b,g} {r,r,b,b,g,g} {r,r,b,g,g,g} {r,r,g,g,g,g} {r,b,b,b,g,g} {r,b,b,g,g,g}
{r,b,g,g,g,g} {r,g,g,g,g,g} {b,b,b,g,g,g} {b,b,g,g,g,g} {b,g,g,g,g,g}

k = 7
n = 9
{r,r,b,b,b,g,g} {r,r,b,b,g,g,g} {r,r,b,g,g,g,g} {r,r,g,g,g,g,g} {r,b,b,b,g,g,g}
{r,b,b,g,g,g,g} {r,b,g,g,g,g,g} {b,b,b,g,g,g,g} {b,b,g,g,g,g,g}

k = 8
n = 6
{r,r,b,b,b,g,g,g} {r,r,b,b,g,g,g,g} {r,r,b,g,g,g,g,g}
{r,b,b,b,g,g,g,g} {r,b,b,g,g,g,g,g} {b,b,b,g,g,g,g,g}

k = 9
n = 3
{r,r,b,b,b,g,g,g,g} {r,r,b,b,g,g,g,g,g} {r,b,b,b,g,g,g,g,g}

k = 10
n = 1
{r,r,b,b,b,g,g,g,g,g}

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Da fehlt noch k = 0, also die leere Menge ;)
Demnach wären es 72 Kombinationen.


Lg

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wenn man k=0 kugeln aus einer menge von n kugeln zieht, hat man eine anzahl von genau 0 kombinationen. hier ist laut aufgabenstellung nach der anzahl der kombinationen und nicht nach der anzahl der kombinationsmengen gefragt. also ziehen wir die leere menge wieder ab und kommen auf 71 kombinationen. ;)

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Realistisch gesehen hast du Recht. Jedoch geht man von einer leeren Menge aus. "Kombination aus k Bällen" schließt diese nicht aus. Es gibt deshalb genau eine Kombination von 0 Bällen. Wir hatten ein ähnliches Beispiel (nur mit weniger Bällen) und hier wurde die leere Menge auch miteinbezogen.
Auch wenn es natürlich unsinnig erscheint 0 Bälle zu ziehen, mathematisch gesehen gehört dieser Wert nun mal dazu ;)

LG


PS: Viel Spaß bei Hering-Bertram :P