Beschränktheit einer rekursiv definierten folge (induktion)

Question

Gegeben ist die rekursiv definierte Folge A(n+1)=  A(n)/A(n)+2  mit A(1) = 1 und n ∈ N

a) Zeigen Sie, dass A(n) beschränkt ist und 0 ≤ A(n) ≤ 1 gilt.

b) Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist.

Wie führt man den Induktionsbeweis richtig. Welche Umformungen muss ich machen? Hier mein Versuch:

Indukutions Anfang: A(2) = 1/(1/2) = 1/3      0 < 1/3 <= 1 stimmt!

Induktions Schritt:  0 < A(n) < = 1      

Auf allen Seiten mal 1/A(n)+2                             

0 < A(n)/A(n)+2 <= 1/A(n) +2

Answer 1

Induktions Schritt:  0 ≤ A(n) ≤ 1      


Auf allen Seiten mal 1/   (A(n)+2) . Das erhält das   ≤  - Zeichen, weil

A(n)+2 positiv ist !                        


    <=>      0 ≤ A(n)/  (A(n)+2)    ≤ 1/( A(n) +2 )

    <=>   0 ≤ A(n+1)     ≤ 1/( A(n) +2 )

Und wegen A(n) ≥ 0  gilt  A(n) + 2  ≥  2 , also

1/( A(n) +2 )   ≤  1 / 2   also erst recht    1/( A(n) +2 )   ≤  1 .   q.e.d.