Wie bestimme ich die Darstellungsmatrix?

Question

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Es sei Φ : R3 →R3 gegeben durch

$$Φ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y\\z\\x+y \end{pmatrix}$$

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix DBB (Φ).

Mein Ansatz bisher war:

$$Φ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}$$

$$Φ \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\1\\3 \end{pmatrix}$$

$$Φ \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$

Was muss ich jetzt mit diesen Werten machen?

Comments

Bestimme die Koordinatenvektoren bzgl. B von den ausgerechneten Bildvektoren.

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@Fakename und wie genau geht das?

Answer 1

Hallo

 du musst φ(b1) wieder als Linearkombination der bi schreiben.

also etwa φ(b1)=3b1-b2 , dann ist die erste Spalte, das Bild von b1 , (3,-1,0) als spalte. entsprechend die Bilder von b2 und b3-

Gruß lul

Comments

Achso ich muss also Zahlen finden, mit denen die Vektoren aus B den Vektor von Φ ergeben.

Also:

$$\begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} = 3 * \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + (-1) * \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} + 0 * \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3\\1\\3 \end{pmatrix} = 5 * \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + (-2) * \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} + 0 * \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = (-1) * \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + 1 * \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} + 0 * \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

⇒D_BB(Φ) = $$\begin{pmatrix} 3 & 5 & -1 \\ -1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$