Vektoren: Luftraum. Wie weit ist das Flugzeug noch vom Flughafen entfernt?

Question

bitte mir helfen dieses beispiel zu lösen, dann kann ich mir wieder selbst gedanken dazu machen:

Ein flugzeug der sunshine airlines ist auf dem landeanflug zum flughafen lucky field.
es befindet sich im geradlinigen sinkflug. gleichzeitig überfliegt eine maschine der fly kini den luftraum. sämtliche koordinatenangeben sind in km, zeitangaben t in minuten.

die koordinaten des flughafens betragen (100,00 | 100,00 | 0,00).

Als das flugzeug auf dem radarschirm des fluglotsen erscheint (zeitpunkt t=0), werden die koordinaten (5,00|150,00|5,70) festgestellt.
wie weit ist das flugzeug noch vom flughafen entfernt ?

ein minute später werden für das flugzeug die koordinaten (8,68|148,06|5,48)
duchgegeben. zeige, dass das flugzeug den flughafen auf fast geradliniger flugroute erreichen kann.
nach wie viel minuten ist die landung zu erwarten?
bestimmen Sie den winkel, unter dem das flugzeug landet.

Answer 1

ein flugzeug der sunshine airlines ist auf dem landeanflug zum flughafen lucky field. 
es befindet sich im geradlinigen sinkflug. gleichzeitig überfliegt eine maschine der fly kini den luftraum. sämtliche koordinatenangeben sind in km, zeitangaben t in minuten.

die koordinaten des flughafens betragen (100,00 | 100,00 | 0,00).

Als das flugzeug auf dem radarschirm des fluglotsen erscheint (zeitpunkt t=0), werden die koordinaten (5,00|150,00|5,70) festgestellt. 

wie weit ist das flugzeug noch vom flughafen entfernt ?

d = √((5 - 100)^2 + (150 - 100)^2 + (5.7 - 0)^2) = 107.5057672 km

ein minute später werden für das flugzeug die koordinaten (8,68|148,06|5,48) duchgegeben. zeige, dass das flugzeug den flughafen auf fast geradliniger flugroute erreichen kann. 

g: X = [5, 150, 5.7] + r * ([8.68, 148.06, 5.48] - [5, 150, 5.7]) = [3.68·r + 5, 150 - 1.94·r, 5.7 - 0.22·r]

z = 5.7 - 0.22·r = 0
r = 285/11

X = [3.68·285/11 + 5, 150 - 1.94·285/11, 5.7 - 0.22·285/11] = [100.3454545, 99.73636363, 0]

Die Abweichungen von den Koordinaten des Flughafens sind hier minimal.

nach wie viel minuten ist die landung zu erwarten? 

r = 285/11 = 25.91

Achtung. Dieses r gilt vom ersten Punkt aus. Es verging aber schon eine Minute. Daher ist nach 24.91 Minuten mit der Landung zu rechnen.

bestimmen sie den winkel, unter dem das flugzeug landet.

Flugvektor ist [3.68, -1.94, -0.22]

Ich könnte hier also den Tangens nehmen

α = arctan(0.22/√(3.68^2 + 1.94^2)) = 3.027°

Comments

danke, ich werd das mal durchrechnen und versuchen zu verstehen. falls ich noch fragen habe schreib ich hier einfach nochmal rein.

vielen dank :)

---

bestimmen sie den winkel, unter dem das flugzeug landet.

Flugvektor ist [3.68, -1.94, -0.22]

Ich könnte hier also den Tangens nehmen

α = arctan(0.22/√(3.68² + 1.94²)) = 3.027°

____

das versteh ich nicht ganz...

---

Male dir mal ein Rechtwinkliges Dreieck auf, welches das Flugzeug im Landeanflug zeigt.

tan(α) = Δy / Δx
α = arctan(Δy / Δx)

Nun ist Δy die Strecke die das Flugzeug sinkt. Also die z Komponente des Vektors.

Δx ist die Strecke die das Flugzeug über Grund zurücklegt und das ist nach dem Phythagoras die Hypotenuse aus x und y Komponente.

Answer 2

P1 =  (100,00 | 100,00 | 0,00) - > Flughafen

P2 = (5,00|150,00|5,70) -> Flugzeug zum Zeitpunkt t = 0 Min.

Strecke Flugzeug zum Flughafen: Strecke P1P2 als Vektor auffassen und davon den Betrag bilden, Vektor P1P2 = (5,00|150,00|5,70) - (100,00 | 100,00 | 0,00) = (-95 | 50 | 5,7)

Betrag von Verkor P1P2 = Wurzel( (-95)² + 50² + 5,7²) = 107,5 km

P3 = (8,68|148,06|5,48) -> Flugzeug zum Zeitpunkt t = 1 Min.

Wenn das Flugzeug geradlinig fliegt, dann muss das Flugzeug den selbem Vektor folgen:

Vektor P2P3 = (8,68|148,06|5,48) - (5,00|150,00|5,70) = (3,68|-1,94|-0,22), ferner haben wir den Vektor P1P2 gegeben

Nun nutzen wir aus, dass bei zwei parallelen Vektoren, deren Linearität durch eine Konstante k beschrieben ist:

(Vektor P2P3) * k = Vektor P1P2

(3,68|-1,94|-0,22)*k = (-95 | 50 | 5,7), 1. Zeile ergibt: 3,68*k = -95 -> k = -25,8, 2. Zeile ergibt: -1,94*k=50 ->k = - 25,8, 3. Zeile ergibt -0,22*k = 5,7 -> k = -25,9 ; k ist in etwa gleich, insofern sind die beiden Vektoren parallel und das Flugzeug bewegt sich geradlinig.

Zeit zur Landung: Wir wissen den Weg zum Flughafen bei t = 0 min, er beträgt 107,5 km = s₁. Der Weg, den das Flugzeug nach 1 Minute zurücklegt ist der Betrag des Vektors P2P3 = 4,17 km = s₂. Bei der Annahme, dass die Geschwindigkeit des Flugzeuges konstant bleibt ?, gilt s1/t1 = s2/t2, t2 = t1*s2/s1= 1min*107,5 km/4,17km = 25,78 Min 

Zur Berechnung des Winkels zwischen Flugzeug und Landebahn kann man das Skalarprodukt nutzen. Hierbei kann man neben dem Vektor P1P2 (Fluggerade) für die Landebahn am besten den Einheitsvektor (1|0|0) hernehmen. Berechnung erspare ich mir. Kannst eigenes Ausrechnen gerne versuchen.

Comments

super danke, die erklärung dazu war top. hab so das beispiel problemlos verstanden. gerade selbst erfolgreich durch gerechnet.

danke