Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen

Question

Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch und weiß nicht so ganz, was die Aufgabe als Lösung haben möchte.

Gesucht ist das Bild f(D) in kartesischen Koordinaten (also als Menge von Punkten (x, y, z)^T ohne r, φ, θ zu verwenden). D:= (0, ∞) × (-π, π) × (-π/2, π/2)

Unser f ist f(r,φ,θ):= (r*cos(φ)*cos(θ), r*sin(φ)*cos*(θ), r*sin(θ))^T

Meine Idee wäre:

Man setze einfach für r, cos(φ) etc. die dazugehörigen Formeln in kartesischer Schreibweise ein. Sprich r=√x²+y²+z² usw. und bekommt dann f(x,y,z) raus, aber ist genau das gesucht? Oder was kann man sich unter dem Bild f(D) vorstellen?

Answer 1

Ja - Dein Gedankengang ist richtig. Als Bild einer Funktion bezeichnet man die Menge aller Punkte, die eine Funktion in Abhängigkeit seiner Variablen annehmen kann. Da man mit Kugelkoordinaten jeden Punkt in \(\mathbb{R}^3\) erreichen kann (\(D\) deckt den ganzen Bereich ab), ist das Bild von \(f\) $$\text{Bild}(f(D)) = \mathbb{R}^3$$

Gruß Werner

Comments

Weil es offene Intervalle sind, gibt das mE nicht ganz R^3.

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Weil es offene Intervalle sind, gibt das mE nicht ganz R³.

Das ist formal richtig, aber ich habe unterstellt, dass HSV098 gechlossene Intervalle meint. Offene Intervalle machen hier IMHO keinen Sinn; auch wenn HSV098 was anderes meint!

Ganz genau müsste es wohl heißen \(D = \{ r \in [0, \infty), \, \varphi \in (-\pi, +\pi], \, \theta \in [ -\pi/2, +\pi/2]\}\)

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Das hatte ich auch unterstellt, als ich nach HSV nach offenen Intervallen fragte.

Es gibt in der Frage diesen Satz:

Gesucht ist das Bild f(D) in kartesischen Koordinaten

Da scheint mir als Antwort R^3 zu simpel.

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... könnte natürlich auch sein, dass es genau der Sinn der Aufgabe ist, heraus zu finden, was in in \(\mathbb{R}^3\) fehlt, wenn die Intervalle offen sind.

Das was fehlt, wäre dann eine geschlossene Halbebene mit \(\{ x \le 0, \, y=0\}\).

Answer 2

Hallo

da gilt x^2+y^2+z^2=r^2 ist das für festes r eine Späre, für r in (0,∞) der ganze R^3

also f(D)=ℝ^3

Gruß lul

Comments

Und was ist mit dem Bereich für φ und θ? Wird der nicht berücksichtig?

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Hallo

 da φ über 360° bzw 2π läuft, unt theta über π läuft. wird jeder Punkt der Kugel erreicht. stell dir φ als Längengrade  und theta als Breitengrade auf der Erde vor, dann siehst du es leicht ein.

Gruß lul

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\(f(D)\ne\mathbb{R}^3\). Dass der Ursprung fehlt, sieht man sofort. Es fehlt aber noch mehr.

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Hallo

richtig , ich hatte übersehen, dass die Intervalle offen sind, (an den Fragesteller: sollen sie wirklich offen sein? als etwa φ=0 oder φ=2pi nicht enthalten,) dann fehlen Geraden im R^3

Gruß lul

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Es fehlt mehr als ein paar Geraden. Das als Tipp an den Fragesteller.

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Die Aufgabe ist 1:1 so formuliert.

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Die Aufgabe ist 1:1 so formuliert.

Und du weisst, was offene Intervalle sind?

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Die Intervallgrenzen werden hierbei nicht berücksichtigt. Das wäre das offene Intervall. Oder gibt es sonst noch was zu wissen?

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D:= (0, ∞) × (-π, π) × (-π/2, π/2).

 (0, ∞) bedeutet, dass der Radius r=0 nicht vorkommt. Damit fehlt der Koordinatenursprung in R^3, bzw. der Nullvektor.

 (-π, π) bedeutet, dass phi = -π und +π nicht vorkommen. Das ist eine Halbebene, die den negativen Teil der x-Achse enthält und senkrecht auf der xy-Ebene steht.

 (-π/2, π/2) bedeutet, dass theta = -π/2 und π/2 nicht vorkommen. Damit fehlt die z-Achse, bzw. alle Vektoren mit der kartesischen Form (0|0|z).

Kontrolliere das nochmals ganz genau mit dem Video zu Kugelkoordinaten, das ich dir (vor-)gestern verlinkt habe. Die Winkel werden nicht genau gleich gemessen, wie im Video. theta in deiner Aufgabe misst z.B. nicht den Winkel zum Pol, sondern den Winkel zwischen Vektor und xy-Ebene.

https://www.mathelounge.de/555520/polarkoordinaten-plotten-programm-gesucht