Bruch. Wie stelle ich hier richtig um nach x4?

Question

Ja, ich habe leider immer noch Probleme damit(eigentlich nur, wenn man irgendwelche Variablen hat und keine Zahlen)

$$q_{3} \times \frac{b_{1}}{p_{1}}+p_{3} \times x_{4} = b_{3}$$

PS: Ich möchte nach x₄ umstellen.

Answer 1

\(q_3 \cdot \frac{b_1}{p_1} + p_3 \cdot x_4 = b_3\)

Ich habe meinen Nachhilfeschülern immer gesagt: "Sieh' das wie eine Zwiebel mit der gesuchten Variable im Kern. Schäle die Zwiebel, indem du Schicht für Schicht die einzelnen Zwiebelschalen auf die andere Seite wirfst, um an den Kern zu gelangen. Die einzelnen Schichten sind mit einer Rechenoperation befestigt. Mit Hilfe der jeweiligen Umkehroperation kannst du die Schalen lösen."

Die "Schalen" kann man hier folgendermaßen durch Klammern veranschaulichen ...

\(\left(q_3 \cdot \frac{b_1}{p_1} + \left(p_3 \cdot \left(x_4\right)\right)\right) = b_3\)

==========

\(q_3 \cdot \frac{b_1}{p_1} + p_3 \cdot x_4 = b_3\)

Subtrahiere \(q_3\cdot\frac{b_1}{p_1}\) ...

\(p_3 \cdot x_4 = b_3 - q_3 \cdot \frac{b_1}{p_1}\)

Dividiere durch \(p_3\) ...

\(x_4 = \frac{b_3 - q_3 \cdot \frac{b_1}{p_1}}{p_3}\)

Wenn man möchte, kann man nun noch mit \(p_1\) erweitern, um den Bruch im Zähler wegzubekommen. (Brüche in Brüchen finde ich immer "hässlich".)

\(x_4 = \frac{p_1\cdot b_3 - q_3 \cdot b_1}{p_1\cdot p_3}\)

=========

Ergebnis: $$x_4 = \frac{p_1\cdot b_3 - q_3 \cdot b_1}{p_1\cdot p_3}$$

Answer 2

du musst halt alle nötigen Rechenoperationen durchführen, um an dein Ziel zu gelangen.

$$ \begin{aligned} q_{3} \cdot \frac{b_{1}}{p_{1}}+p_{3} \cdot x_{4} &= b_{3} &\quad &|\cdot p_1\\  q_{3} \cdot \frac{b_{1}}{p_{1}}\cdot p_1+p_1\cdot p_{3} \cdot x_{4} &= p_1\cdot b_{3}\\ q_{3} \cdot b_{1}+p_1\cdot p_{3} \cdot x_{4} &=p_1\cdot  b_{3} &\quad &|-q_{3} \cdot b_{1}\\ p_1\cdot p_{3} \cdot x_{4} &=p_1\cdot  b_{3}-q_{3} \cdot b_{1} &\quad &|:p_1\cdot p_3\\ x_4&=\frac{p_1\cdot  b_{3}-q_{3} \cdot b_{1}}{p_1\cdot p_3}\end{aligned}$$

Comments

Ist es eigentlich empfehlenswert bei Umformungen sich am Anfang immer als erstes um die Brüche zu kümmern? Finde diesen Lösungsweg sehr praktisch, weil man am Ende keinen Bruch im Zähler hat.

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Ja, das kannst du machen. Mach ich eigentlich auch immer, um erstmal den nervigen Nenner loszuwerden. Aber denk daran. Dort wo kein Nenner ist, wird der Nenner dann als Faktor auftauchen, da du beim Bruch den Nenner durchs Multiplizieren rauskürzt. Das passiert auch in meiner Rechnung aber der ersten Zeile. Hier ein einfacheres Beispiel:

$$ \begin{aligned} \frac{g-3}{k}+2\cdot k+1&=7 &\quad &|\cdot k \\ \frac{g-3}{k}\cdot k+k\cdot (2\cdot k+1)&=7\cdot k \\ g-3+2\cdot k^2+k&=7\cdot k \end{aligned}$$

usw...

Answer 3

$$ q_{3} \times \frac{b_{1}}{p_{1}}+p_{3} \times x_{4} = b_{3} $$Wegen der Vorrangregeln für Rechenoperationen ist das äquivalent zu:
$$\left(q_{3} \times \frac{b_{1}}{p_{1}}\right)+\left(p_{3} \times x_{4}\right) = b_{3}.$$Beachte das.