Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks aus der Differenz der Katheten und Hypotenusenabschnitte

Question

Hallo Freunde der Geometrie,

diese Frage nach den Längen der Katheten bei gegebener Differenz derselben, hat mich zu dieser Aufgabe inspiriert. Wie löst man das gleiche Problem konstruktiv; d.h. mit Zirkel und Lineal?

(Strecken mit gleicher Farbe sind gleich lang)

Gegeben sind zwei Strecken \(d\) und \(e\) (links in grün). Gesucht ist die Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks \(\triangle ABC\) (rechter Winkel bei \(C\)) dessen Differenz der Katheten \(=d\) und dessen Differenz der Hypotenusenabschnitte \(=e\) ist. Formal: $$b-a=d; \quad q-p=e; \quad q=|AH_c|; \space p=|H_cB|$$ \(H_c\) ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt \(C\) auf die Seite \(c\).

Ich wünsche mir mehr als einen Kommentar von Gast hj2166. So schwer ist es nicht ... ;-)

Viel Spaß beim Knobeln, Gruß Werner

Comments

Ich wünsche mir mehr als einen Kommentar von Gast hj2166

Ich fasse das als Kompliment auf.

Bedeutet es aber
- Ich wünsche mir mindestens zwei Kommentare von Gast hj2166
- Ich wünsche mir eine Antwort von Gast hj2166
- Ich wünsche mir auch Beiträge von anderen Leuten  ?

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Übrigens :
Was wir früher alles so können mussten findest du hier, insbesondere in den Aufgaben 29ff  auf Seite IX.

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Ich fasse das als Kompliment auf.

Joh! ich gehe davon aus, dass Du weißt wie's geht!

Bedeutet es aber
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- Ich wünsche mir auch Beiträge von anderen Leuten  ?

Das ist ja wieder eine echter hj! ;-)

Ich sage mal: die Priorität läuft von unten in Deiner Auswahlliste nach oben.

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Was wir früher alles so können mussten findest du hier, insbesondere in den Aufgaben 29ff  auf Seite IX.

Oh wow!! ich hätte nicht gedacht, dass Du schon so alt bist. Die Aufgaben sind von 1845. Gib' uns doch mal ein paar Tipps wie Du es geschafft hast, so alt zu werden.

29) Konstruiere ein rechtwinkliges Deieck, wenn der Unterschied der Katheten und der Gegenwinkel der größeren Katheten gegeben ist.

BTW: ich finde die Aufgabe 29 einfacher als meine oben:

  

Alles was grün ist, ist gegeben. \(C'\) auf dem Schenkel des Winkels ist frei gewählt. Die hellblauen Geraden sind parallel.

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Ich bin eine hoffnungslose Niete in Geometrie :(

Meine Hochachtung vor denen, denen das so einfach fällt. Ich werde mal bei Aufgabe 1 beginnen.

https://play.google.com/books/reader?id=WSBkAAAAcAAJ&pg=GBS.PR5

Da hab ich sogar schon eine Idee :)

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Also die nächste Stufe.
Da gebe ich mal zwei Lösungsmöglichkeiten zum Besten :

1. Zeichne Quadrat PQRS mit Seitenlänge d
2. Sein Umkreis wird vom Kreisbogen um P mit Radius e in T geschnitten
3. Kreis um T durch R schneidet den Strahl PT in U und V
4. Parallele zu SU durch P schneidet den Strahl VS in W
a = |WS| ,  b = |WV|

1. Zeichne das Quadrat ADEF mit Seitenlänge e
2. Seine Diagonale DF wird vom Kreis um A mit Radius d in U und V geschnitten
3. Der Strahl AU schneidet die Parallele zu AV durch D in C
4. Der Kreis um C durch D schneidet den Strahl AD in B.

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Hello! Danke für die Aufgabe! Könntest du aber bitte den Lösungsweg schicken?

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Zwei Lösungen stehen oben im Kommentar hinter der Frage. ich werde am Wochenende nochmal meine Lösung hier veröffentlichen. Sie ist ähnlich zu der zweiten Lösung von Gast_hj2166.

Gruß Werner

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Die erste Lösung muss ich erst mal verdauen. Gib mal einen Hinweis wie Du da hin gekommen bist. Ich vermute es ist das Produkt einer analytischen Rechnung.

Die zweite Lösung ist fast identisch zu meiner:

Der Punkt \(E\) wird nicht benötigt. Und das \(DC\) parallel zu \(AV\) verläuft hatte ich nicht gesehen. Aber der Kreis um \(C\) durch \(B\) und \(D\) geht auch durch \(U\). Folglich erhält man \(C\) auch als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten durch \(UD\) mit der Geraden \(AU\).

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Ich bin eine hoffnungslose Niete in Geometrie :(

Schade! Ist es wegen mangelnder Erfahrung/Übung oder bist Du der Meinung, dass Du da grundsätzlich Schwierigkeiten hast?

C.F.Gauß soll ja gesagt haben, dass die Zahlentheorie die Königin der Mathematik ist. Dann ist die Geometrie für mich die Prinzessin.

Geometrie ist für mich auch der Prüfstein, ob jemand Talent für Mathe hat oder eben nicht. Ich habe schon viele Jahre Nachhilfe gegeben und dabei festgestellt, dass man Geometrie nicht wirklich lernen kann. Den Rest vom Schulstoff in Mathe kann man pauken, Geometrie eben nicht.

Gruß Werner

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Den Rest vom Schulstoff in Mathe kann man pauken, Geometrie eben nicht.

Wenn Mathematik tatsächlich nur die Anwendung von Formeln wäre hättest du sicher recht. Formeln kann man pauken. Die Anwendung aber nicht unbedingt.

Es gibt verschiedene Arten nach einem Wendepunkt zu fragen.

1. Berechnen Sie den Wendepunkt der Funktion f mit f(x) = ...

2. Bestimmen Sie den Punkt der Funktion f mit f(x) = ... in dem die Steigung maximal wird.

Während Aufgabe 1. 99% aller Schüler ohne nennenswerte Schwierigkeiten zumindest mit einer ganzrationalen Funktion noch hinbekommen, schaffen das bei Aufgabenstellung 2 schon deutlich weniger.

Fast alles in der Mathematik braucht Übung und Erfahrung. So ist das wohl auch mit der Geometrie. Ich würde nicht behaupten das ich darin Grundsätzlich schlecht bin aber mir fehlt tatsächlich die Übung. Während in England in Sachen Geometrie viel viel mehr gemacht wird macht man in Deutschland in der Schule kaum etwas. Es beschränkt sich gerade mal auf das Zeichnen von Flächen und Körpern und das berechnen dieser Dinge.

Beweise mit der Geometrie sind bis auf den Satz von Pythagoras Fehlanzeige.

Winkel im und am Kreis haben wir beispielsweise nie gemacht obwohl ich die inzwischen gut kann, nachdem ich eine Schülerin aus England betreut habe. Die mussten die Sätze allesamt herleiten und auch anwenden können.

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Ich vermute es ist das Produkt einer analytischen Rechnung.

So ist es.

Auflösen der Gleichungen  (a+d)^2  =  (a^2 - p^2) + (p+e)^2
und  a^2 + (a+d)^2  =  (2p + e)^2  nach a ergibt
a  =  1/2 * 1/(2d^2 - e^2) * ( d*(e^2-2d^2) ± de√(2d^2-e^2) )
was sich mit der Abkürzung  2d^2 - e^2  =  f^2  schreiben lässt als
a  =  d/2 * (-1 ± e/f).
f ist |TR| im Thaleskreis über PR.

Die Konstruktion ist letztlich der Strahlensatz in der Form
a/d  =  (e-f) / (2f)  unter Verwendung von  |VS| = d

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ah, okay, ja ich sehe..

Danke:)

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Hallo haandann.y,

Zunächst mal zwei Skizzen zu der Idee, die hinter der Lösung steckt.

Zieht man um den Punkt \(C\) einen Kreis mit dem Radius der kürzeren Kathete (hier \(|CB|\)), so schneidet der Kreis die andere Kathete in \(U\) und die Hypotenuse in \(D\). Und da $$|AU| = |AC| - |CB|$$ ist auch \(|AU|=d\) - also die Differenz der Katheten. Und weil die Gerade \(CH_c\) auch Mittelsenkrechte zu \(DB\) ist, ist $$|AD| = |AH_c| - |H_cB| = q-p$$ also die Differenz der Hypotenusenabschnitte \(|AD|=e\).

In der nächsten Skizze geht es um die Winkel im Punkt \(D\).

Der Winkel \(\angle BDU\) (gelb) ist ein Umfangswinkel, zu dem der Mittelpunktswinkel \(\angle BCU\) gehört (nicht markiert!). Nach dem Kreiswinkelwinkelsatz ist der Umfangswinkel (hier der gelbe) halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel: $$\angle BCU = 360°-(\angle UCB=90°)=270°$$ D.h. der Winkel \(\angle BDU\) (gelb) ist immer \(270°/2=135°\). Und damit ist der Winkel \(\angle UDA\) (grün) auch immer \(=180°-135°=45°\). Also sind von dem Dreieck \(\triangle ADU\) zwei Seiten (\(e\) und \(d\)) und ein Winkel bekannt. Das lässt sich also leicht konstruieren.

Zum Punkt \(C\) kommt man dann, indem man durch die Punkte \(U\) und \(D\) die Mittelsenkrechte konstruiert, die die Verlängerung von \(AU\) in \(C\) schneidet.

der Rest dürfte kein Problem sein.

Gruß Werner

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oh, wow, dankee, ich werde es als zusatzaufgabe merken:)

Answer 1

Bei der Suche nach a, geht es darum,

ein Rechteck mit

der Länge (e+d) und Breite d

In ein flächengleiches Rechteck

der Länge 2 (e-d) umzuwandeln,

die Breite ist dann das gesuchte a

Bei der Suche nach p geht es genauso, nur hat das ursprüngliche Rechteck nicht die Breite d, stattdessen ist die Breite (2d-e).

Das sollte mit Zirkel und Lineal gelingen.

Comments

Bei der Suche nach a, geht es darum,
ein Rechteck mit der Länge (e+d) und Breite d in ein flächengleiches Rechteck der Länge 2 (e-d) umzuwandeln, die Breite ist dann das gesuchte a

Was zunächst mal eine kühne Behauptung ist. Das wäre identisch zu$$\frac ad = \frac{e+d}{2(e-d)}$$Kannst Du das beweisen?

Für \(d=7\) und \(c=5\) kommt \(a=21\) heraus, was falsch ist.

Korrektur: Das war falsch. Mit \(d=5\) und \(e=7\) kommt wirklich \(a=15\) raus; und das ist richtig!

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Dein Argument kann ich nicht nachvollziehen.

\( \frac{a}{d} \) = \( \frac{e+d}{2(e-d)} \)

Mit e=7 und d =5 folgt

\( \frac{a}{5} \) = \( \frac{7+5}{2((7-5)} \)

Und jetzt ganz langsam zuerst die Klammern

\( \frac{a}{5} \) = \( \frac{12}{2*2} \)

\( \frac{a}{5} \) = \( \frac{12}{4} \) 

\( \frac{a}{5} \) = 3

a=15 ≠ 21  Was wie gesagt falsch ist.

Statt  dessen ist a=15 richtig.

Es ist keine kühne Behauptung!

Ebenso kommt p=9 heraus

Mit dem Kathetensatz stellst du fest, dass alles seine Richtigkeit hat.

Ja, wie bin ich darauf gekommen?

Ich habe nicht mit

\( a^{2} \) + \( b^{2} \) gespielt, sondern mit

\(( b)^{2} \) - \( a^{2} \) = e * c

\(( a+d)^{2} \) - \( a^{2} \) = e *( e +2p)

Das war nicht kühn, sondern trivial.

Ich bin ein Freund der einfachen Lösungen, doch leider finde ich sie nicht immer.

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Zugegeben, es funktioniert nur bei den beliebten 3k,4k,5k Dreiecken, doch da funktioniert es.

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Hallo Hogar,

das mit der 15 und 12 war ein Versehen meinerseits. Ich hatte vorher auch \(a=\)15 heraus, aber als ich dann den Kommentar geschrieben hatte, habe ich \(d\) und \(e\) vertauscht und immerzu das falsche Ergebnis .. :-/

Nun gut, aber wie kommst Du auf $$b^2 - a^2 = ec$$

(?) Das würde ja bedeuten, dass in dem braun markierten rechtwinkligen Dreieck \(\triangle AFG\) mit \(F\) als Schnittpunkt der Senkrechten in \(E\) mit dem Thaleskreis über \(AB\) und \(|AG|=b\), dass in diesem Dreieck \(|FG| = a\) (rot) ist. Das scheint tatsächlich der Fall zu sein.

Aber wieso?

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Wie gesagt, funktioniert es nicht bei anderen Dreiecken doch wenn die Seiten sich wie 3:4:5 verhalten, funktioniert es da 2*5^2-7^2=1, denn die genaue Lösung, also die immer ? gültige Lösung von p lautet.

p= - \( \frac{1}{2} \) e ± \( \frac{d^{2}}{2} \)*\( \sqrt{\frac{1}{2d^{2}-e^{2}}} \)

Wenn du den Kathetensatz benutzt und \(b ^{2} \) - \(a ^{2} \) betrachtest,

kommst du zu

e(e+2p)= d(d+2a) dies nach a auflösen, das Quadrat in

\(a ^{2} \) = p (2p+e)

einsetzen, führt zu obiger Formel.

Entschuldige, ich habe deine Frage nicht beantwortet

\( b^{2} \) = q * c =( p+e)*c = p*c + e*c

\( a^{2} \) = p*c

\( b^{2} \) - \( a^{2} \) = e*c

Doch das mit dem Kathetensatz habe ich doch schon mehrfach geschrieben.

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Hallo Werner ,

ich habe in der Zwischenzeit meine Antwort bearbeitet. Bitte, bitte , die Formel führt wie gesagt nur für Dreiecke zum richtigen Ergebnis, deren Seiten sich wie 3 :4 : 5 verhalten.

McF²= (c/2)²=12,5²

FE²= (c/2)² - ((c/2)-e)²=12,5² - 5,5²

FA²= FE² + e²= 12,5² - 5,5² + 7²

FG²= b²- FA²=20² -12,5² + 5,5² -7² = 15²

Es fügt sich alles, weil es dein gerne verwendetes Dreieck 15 ; 20; 25 ist, dies ist ähnlich dem Dreieck 3 ; 4; 5

Hier und nur hier, kann meine kühn behauptete Formel verwendet werden. In allen anderen Fällen,  muss auf die später gelieferte Formel zurückgegriffen werden.

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Hallo Hogar,

Du machst Sachen ....

Doch das mit dem Kathetensatz habe ich doch schon mehrfach geschrieben.

Ja - Du hast mehrfach das Wort 'Kathetensatz' geschrieben, aber nicht, dass Du ihn für beide Katheten des Dreiecks verwendet hast. Und anschließend dann die beiden Gleichungen von einander abgezogen hast.

Ich hatte gestern auch weder Zeit noch Ruhe, mich damit intensiver zu beschäftigen. Zumindest dieser Teil des Problems ist nun klar!

... weil es dein gerne verwendetes Dreieck 15 ; 20; 25 ist

Ich wußte gar nicht, dass ich dieses Dreieck gern verwende ;-)

... denn die genaue Lösung, also die immer ? gültige Lösung von p lautet. $$p = -\frac 12 e \pm \frac {d^2}2\sqrt{\frac{1}{2d^{2}-e^{2}}}$$

ok ! - scheint richtig zu sein. Die Herleitung ist dann doch etwas mühselig. Diese Lösung gehört dann zu dieser Frage.

Ich bin ein Freund der einfachen Lösungen ..

ich auch. Alles so einfach wie möglich - nur nicht noch einfacher! ;-)

Gruß Werner

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Hallo Werner, dass mit dem Kathetensatz habe ich geschrieben, aber ich habe auch geschrieben, dass die Differenz der Quadrate von b  und a betrachtet werden soll, bzw, dass ich damit rumgespielt habe. Was habe ich wohl mit der Differenz gemeint?

"Mit dem Kathetensatz stellst du fest, dass alles seine Richtigkeit hat.

Ja, wie bin ich darauf gekommen?

Ich habe nicht mit

a^2 + b^2 gespielt, sondern mit

(b)^2 - a^2 = e * c"

Ich habe versucht zu beschreiben, dass ich den Kathetensatz verwende und, dass ich die Differenz der Quadrate betrachte, dann habe ich auch noch aufgeschrieben, was das Ergebnis dieser Betrachtung ist.

Was hätte ich denn noch machen sollen?

Ja, ich habe es mir einfach gemacht weil die Frage auf die du dich bezogen hast, sich genau auf diese Art von Dreiecke  bezieht, doch ich habe auch etwas später auf die Einschränkung meiner Lösung mehrfach hingewiesen.

Liebe Grüße, Hogar

P.S.Du hast die Fragen ja schon verlinkt, doch, da es es sich um e=7 und d=5 handelt, hätte auch meine kühne Lösung gereicht.

p=0,5(d²-e)