Beweis, dass es mindestens zwei verschiedene Eigenwerte gibt.

Question

ich komme bei einer Aufgabe leider nicht weiter und wollte fragen ob ihr mit weiterhelfen könnt ?

Zur Aufgabe:

 
Sei V ein C-Vektorraum mit 1 <= n := dimC V < ∞. Beweisen Sie:
Falls für einen Endomorphismus f ∈ End(V) gilt, dass
           
(Spurf/n)^n   !=   det f,

dann hat f mindestens zwei verschiedene Eigenwerte.

Ich bin die Aufgabe bisher mit Widerspruch angegangen, und versucht mit der Jordannormalform eine Begründung zu folgern, aber leider nicht hingekriegt.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen und danke schon mal im voraus.

Aus Kommentar: Lies (Spurf/n)^n  !=  det f als: Die Spur f wird durch n geteilt in einem Bruch und dies wird dann in Klammern hoch n genommen. Und das ganze ist ungleich der Determinante f.

Comments

Kannst du deine Zeichen noch beschreiben?

Wie würdest du z.B.

(Spurf/n)^{n}  !=  det f,

vorlesen?

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Die Spur f wird durch n geteilt in einem Bruch und dies wird dann in Klammern hoch n genommen. Und das ganze ist ungleich der Determinante f.

Answer 1

Angenommen es gibt keine zwei verschiedenen Eigenwerte, dann sieht das charakteristische Polynom doch so aus

$$ \chi_A(\lambda) = \prod_{k=1}^n (\lambda - \lambda_0) = (\lambda - \lambda_0)^n $$ mit dem einzigen Eigenwert \( \lambda_0 \)

Es gilt aber allgemein $$ \prod_{k=1}^n \lambda_k =  \lambda_0^n = \det(A) $$ und $$ \sum_{k=1}^n \lambda_k = n \lambda_0 = \text{Spur}(A) $$ also folgt $$ \left( \frac{ \text{Spur}(A) }{ n } \right)^n = \det(A) $$ Also muss es mindestens zwei verschieden Eigenwerte geben.