Falls n² gerade ist, dann ist auch n gerade.

Question

Man zeige, dass falls n² eine gerade natürliche Zahl ist, so ist n eine gerade natürliche Zahl.

Ich kriege als Ansatz leider nur hin, das eine Zahl gerade ist wenn sie in der Form 2k ist, wobei k ∈ℕ.

Comments

Ansatz: Schreibe n mal als 2k mit k∈ℕ. Kommst du damit weiter? :)

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Diese Frage gab es schon einmal. Sie wurde von Lu hier beantwortet: https://www.mathelounge.de/8794/wenn-eine-quadratzahl-gerade-ist-dann-ist-auch-die-zahl-gerade

Answer 1

Annahme n ist eine ungerade zahl und besteht nur aus ungeraden Faktoren a,b,c,...

n^2 = (a * b * c * ... ) * (a * b * c * ... ) = a * a * b * b * c * c * d * d * ...

Dann besteht n^2 also auch nur aus ungeraden faktoren.

Eine Gerade Zahl muss aber mind. einmal den Faktor 2 haben.

Ist n also ungerade ist n^2 auch ungerade. Wenn n^2 also gerade sein soll darf n nicht ungerade sein. Also muss n gerade sein.

Answer 2

 

wenn n² gerade ist, lässt es sich darstellen als (2k)²

(n = 4 => k = 2; n = 2 => k = 1; n = 0 => k = 0)

Dann ist n = ± √n² = ± √(2k)² = ± 2k

Und 2k ist gerade.

 

Eine andere Möglichkeit wäre ein Beweis folgender Art:

(a => b ist gleichbedeutend mit ¬b => ¬a) 

Aus n² gerade folgt n gerade <=> Aus n ungerade folgt n² ungerade

Wenn n ungerade ist, lässt es sich darstellen als 2*k + 1. Dann ist n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 * (2k² + 2k) + 1, also ungerade.

 

Besten Gruß