Algorithmus e-Funktionen

Question

Ich sitze nun schon länger daran, ich weiß wie man das Verfahren durchführt, aber bin leider damit überfordert den Algorithmus für die gegebene Funktion anzugeben.

Entwickeln und beschreiben Sie unter Verwendung von e^2x=(e^x)^2 einen "Halbierungs-verdopplngsalgorithmus" für die Exponentialfunktion. Als Näherung für kleine x kann das Taylorpolynom 1.Grades bei x0= 0 verwendet werden: e^x≈ 1+x.

Mein Ansatz:

f(x) = (1+x)^2

Dann die 1. Ableitung und daraus dann ein Additionstheorem entwickeln ?

Ich bin wirklich überfordert

Answer 1

Ich vermute mal eher sowas wie:

e^x = e^{ 2*x/2} = (e^{x/2} )^2

Also wäre der Algorithmus (rekursiv) wohl so:

Wenn du e^x haben willst, dann prüfe, ob

x "klein" ist  (  Vielleicht  ist |x| < 0,1 ein gutes Kriterium;

denn bei e^{0,1} gibt das Taylorpolynom schon 1,1 raus,

und das ist ja schon relativ nah an 1,105...

Also:

Wenn x "klein" ist, benutze  e^x ≈ 1+x und ansonsten

halbiere das x , bestimme e^{x/2} und quadriere anschließend

das Ergebnis.