Verständisfrage ganzrationale Funktionen: Warum keine Formeln ab n=5?

Question

Aufschluss über den Verlauf des zugehörigen  Graphen liefern u. a.  die Nullstellen der Funktion f, also die Lösungen der Gleichung  anx^n+ an-1x^n-1...

diese können nur durch einsetzen der koeffizienten in geeignete Lösungsformeln berechnet werden, wenn n<=4. Für n=3 oder n =4 erweist sich dieses Verfahren als sehr zeit und rechenaufwendig . Für n>=5 lassen sich aus prinzipiellen  mathematischen Gründen keine allgemein gültigen Lösungsformeln mehr angeben.

kann mir jemand helfen was das bedeutet, ich hab keine ahnung

Answer 1

Ganzrationale Funktionen, also Polynome, können bis zum Grad 4 mit einer explizieten Lösungsformel berechnet werden (ihre Nullstellen).

n=1 und n=2 sind aus der Schule bekannt. Aber bei n=3 wird es schon komplizierter. Gleichungen dritten Grades also n=3 können mithilfe der cardanischen Formeln gelöst werden; sehen hässlich aus. Bei einer quartischen Gleichung, also mit Grad n=4 passen die Lösungsformeln schon gar nicht mehr auf ein A4- Blatt geschrieben. Sie sind einfach zu kompliziert. Deshalb bedient man sich lieber der Polynomdivision, um das vorliegende Polynom in jedem Durchlauf um einen Grad zu verringern. Falls es ein Polynom geraden Grades(z.B n=6) ist, kannst du auch Pech haben, und sie hat im reellen Zahlenbereich keine Lösungen, aber in den komplexen Zahlen schon. Ist der Grad ungerade (z.B n=5), so kann man nach dem FUNDAMENTALSATZ DER ALGBRA sagen, dass so ein Polynom mindestens eine reelle Nullstelle hat.

Ein sehr junger Mathematiker namens Niels Henrik Abel konnte sogar beweisen, dass es für Polynome mit Grad n>4 keine Lösungsformel existiert.