(t^2,t^3) + x = (t^2 + 2xt + x^2 , t^3 + 3t^2x + 3tx^2 + x^3) für alle x,t∈ℝ}.

Question

Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen?

Betrachten Sie den affinen Raum A={ (t²,t³)∈ℝ² : bezüglich ℝ, wobei (t²,t³) + x = (t² + 2xt + x² , t³ + 3t²x + 3tx² + x³) für alle x,t∈ℝ}.

Ergänzen Sie die richtigen Antworten (Klammern nicht angeben).

Pfeil darüber {(9,27)(4,-8)} =

Pfeil darüber {(4,-8)(1,-1)} =

Comments

Wenn \((t^2,\, t^3) \in \mathbb{R}^2\) und \(t,x \in \mathbb{R}\), was ist dann \((t^2,\, t^3) + x\)? Hier wird ein Vektor mit einem Skalar addiert.

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Nein, hier wird (wie üblich in affinen Räumen) zu einem Punkt

ein Vektor ( aus dem 1-dim Vektorraum ℝ über dem Körper ℝ )

addiert.

Answer 1

Die "Punkte" dieses Raumes sind ja die Paare von der Form (t^2;t^3) ∈ℝ^3

und die "Vektoren" sind die reellen Zahlen (Vektorraum ℝ über dem Körper ℝ)

Pfeil darüber{(9,27)(4,-8)}    Bedeutet nach Def. dieses Objektes:

Du suchst einen Vektor x mit der Eigenschaft

(9;27) + x = (4;-8) .  Nach Def. von + gilt

(t^2,t^3) + x = (t^2 + 2xt + x^2 , t^3 + 3t^2x + 3tx^2 + x^3) oder kürzer

                = ( (t+x)^2 ; (t+x)^3 )

Damit (9;27) zu (t^2 ; t^3) passt, muss t=3 sein,

und für (4;-8) muss t=-2 sein.   Also suchst du ein x mit

(3^2 ; 3^3 ) + x = ( ( 3+x)^2 ; (3+x)^3 )  = ( ( -2)^2 ; (-2)^3 )

also x = -5.

Damit gilt :    Pfeil darüber{(9,27)(4,-8)}    = -5 .

Damit bekommst du auch das zweite raus.

Comments

Hallo mathef,

wäre das "Pfeil darüber{(9,27)(4,-8)} " so richtig geschreiben? $$\overrightarrow{(9,27)(4,-8)}$$