Durch vollständige Induktion Gleichheit der Summen zeigen. ∑ k = 3* ∑ k

Question

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ ℕ gilt:

2n              n

∑ k   =   3* ∑ k

k=n            k=1

Comments

Ich versuche schon eine halbe Ewigkeit den Induktionsschritt zu lösen. Ich hoffe jemand kann mir mal ein wenig helfen.

Ich habe jetzt auf der linken Seite:

2n+1

∑ k =       n + n+1+n+2+n+3+...   +2n  +n+1

k=n+1           (   Summe von IA)

daraus folgt bei mir:

2n

∑ k + (n+1)

k=n

Aber ich habe mittlerweile so viele Lösungsansätze die mich alle nicht weiter bringen.

Hoffe jemand kann mir dabei helfen.

Gruß Christian

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Ansonsten bei der eigenen Frage nochmals nachfragen.

Answer 1

Das könnte wie folgt aussehen denke ich.

Comments

Oha, das ging schnell. Da will ich ja gar nicht sagen wie lange ich da jetzt schon dran gesessen habe;). Das sieht auf jeden fall sehr plausibel aus. Ich habe meistens den Fehler gemacht das ich nicht aus 2n --> 2n+2 sondern 2n+1 gemacht habe.

Werde nachher die Aufgabe dann nochmal versuchen.

Vielen lieben Dank.

Gruß Christian

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nur aus Interesse: Weshalb der Screenshot und keine Texteingabe? Danke.

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1. Um mir die Sache zu vereinfachen. Wenn ich eine Frage zu Google Docs übernehme und dort mit eine Antwort dazu schreibe, dann kann ich über eine einfache Bildkopie die Antwort samt richtiger Formatierung so übernehmen.

2. Der Mehraufwand lohnt bei solchen Formeln eh nicht weil nicht wirklich Suchbare Inhalte darin stecken. Google hat große Schwierigkeiten ähnliche Formeln zu finden.

3. Der Fragesteller ist gezwungen die Formeln ins eigene Heft oder in ein Programm durch Abtippen zu übernehmen. Dadurch muss er sich nochmals mit meiner Antwort auseinandersetzen. Darum setzte ich das auch nicht gleich Abgabefertig in Latex.

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Kannst du einen direkten Copy&Paste hier im Kommentar posten? Ich würde gerne sehen, was verloren geht.

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Ja. Das ist kein Problem.

Zu zeigen:

∑ (k = n bis 2·n) (k) = 3·∑ (k = 1 bis n) (k)

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 2·1) (k) = 3·∑ (k = 1 bis 1) (k)
1 + 2 = 3·1
3 = 3
wahr!

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (k = n + 1 bis 2·(n + 1)) (k) = 3·∑ (k = 1 bis n + 1) (k)
∑ (k = n + 1 bis 2·n + 2) (k) = 3·∑ (k = 1 bis n + 1) (k)
∑ (k = n bis 2·n) (k) - n + (2·n + 1) + (2·n + 2) = 3·(∑ (k = 1 bis n) (k) + (n + 1))
∑ (k = n bis 2·n) (k) + 3·n + 3 = 3·∑ (k = 1 bis n) (k) + 3·n + 3
∑ (k = n bis 2·n) (k) = 3·∑ (k = 1 bis n) (k)
wahr nach Induktionsanfang!