Differentialgleichung x²y''-6y=12lnx

Question

Wer kann mir beim lösen der inhomogenen DGL helfen

Answer 1

Das ist eine Euler-DGL.

Ansatz homog. DGL : y =x^λ ,2 Mal ableiten , in die DGL einsetzen:

charakt. Gleichung: λ^2 - λ -6=0

usw.

Ansatz part. Lösung über die Wronski Determinate möglich.

Lösung:

y(x) = C₁ x^3 + C₂/x^2 - 2 ln(x) + 1/3

Comments

ich komme nicht auf den Ansatz der partikulären Lösung, was genau muus ich für 12 lnx ansetzen

---

y_h= C₁/x^2 +C₂x^3

W(x) =| 1/x^2                x^3 |

           | -2/x^3           3 x^2 |

 =5

f(x)=  12 ln(x)/x^2

allgemein gilt:

v₁(x) =  - ∫ (f(x) *y_b2) /W(x) dx

v₂(x) =   ∫ (f(x) *y_b1) /W(x) dx

yp=v₁ *y_b1 +v₂* y_b2

_y=yh+yp

Answer 2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2y%22-12y%3D6ln(x)

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Differentialgleichung

   Natürlich ließe sich die gesamte Lösung spontan durch Probieren ermitteln. Für die homogene Lösung machst du den Ansatz  x  ^  k  . Damit kriegst du nämlich schon zwei Basislösungen . Und bei der inhomogenen musst du nur das geeignete Vielfacvhe von Logaritmus bestimmen .

   Jetzt weiß ich nicht, in wie fern diese Transformation aus Wiki für dich verpflichtend ist oder ob du aus der Vorlesung andere Teoreme kennst, die du benutzen sollst . Mir ist auch nicht bekannt, ob es da ein ===> erstes Integral gibt . Doch das kann mitunter gerade bei einer linearen DGL komplizierter sein alos die ganze Lösung .