Komplexe Zahlen - Winkelbestimmung

Question

Und zwar habe ich eine Verständnisfrage zum Thema komplexe Zahlen.

Fallbeispiele: Gleichung: z⁴ = 16  (x > 0, y = 0)

                      Gleichung: z⁴ = -16 (x < 0, y = 0)

Ich weiß, dass ich mithilfe des Quadranten den Winkel bestimmen kann, müsste im ersten Beispiel 2pi und im 2. Fallbeispiel pi sein.

Allerdings muss es doch auch eine rechnerische Methode geben den Winkel zu ermitteln?

Lg, Clara

Answer 1

Hallo Kleopatra,

Ich weiß, dass ich mithilfe des Quadranten den Winkel bestimmen kann.Allerdings muss es doch auch eine rechnerische Methode geben den Winkel zu ermitteln?

Es geht auch ohne die Quadrantenüberlegungen:

z = a + b·i$$ r = \sqrt{a^2 +b^2}\text{ } \text{ } und \text{ } \text{ } φ = arccos\left(\frac { a }{ r }\right) \text{ }\text{ } wenn \text{ }\text{ }b≥0$$$$ \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }  \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }- arccos\left(\frac { a }{ r }\right)\text{ }wenn \text{ }\text{ }b<0  .$$ wenn sich φ negativ ergibt, kannst du einfach 2π addieren, wenn du den Winkel φ in positiver Schreibweise haben willst.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Allerdings muss es doch auch eine rechnerische Methode geben den Winkel zu ermitteln?  ->Die gibt es.

Allgemein gilt:

tan(φ ) = Imaginärteil/Realteil

das bedeutet z, B. für die Aufgabe:

z4 = -16

tan(φ ) = 0/-16  =0 

- 16 liegt im 2. Quadranten

---->φ=  π