Nullstellen berechnen von Funktion 3. Grades von f(x) = x^3 + 30x - 1389

Question

Ich brauch eure Hilfe

Meine Aufgabe lautet Nullstellen von dieser Funktion zu berechnen:

f(x) = x³ + 30x - 1389

Entweder hab ich da jetzt einen totalen Black out oder ich finde den Lösungsansatz nicht.

Polynomdivision geht nicht da die Funktion nur eine Nullstelle hat und die liegt bei ca.: 10,265

Aufgabe stammt aus einer Probeklausur.

Comments

Die Lösung könnte mit vertretbarem Aufwand
nach dem Newton-Verfahren berechnet werden.

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Hm... wie lautet denn die genaue (ggf. als Foto!) Aufgabenstellung? Was sind die zugelassenen Technologien (WTR, GTR, CAS, TabCalc, etc.)? Sollten vielleicht irgendwelche numerischen Verfahren oder Abschätzungen verwendet werden? Falls ja: Wie genau soll das Ergebnis sein? Ist eine algebraische Lösung gesucht? Über welchem Zahlenkörper ist die Funktion definiert?

Answer 1

Du kannst die Nullstellen mit dem Newtonschen Näherungsverfahren lösen.Schau Bitte in deine Unterlagen , sollte behandelt worden sein.

HINWEIS: Du mußt es so berechnen , wie es in der Schule/Studium behandelt worden ist und NICHT anders.

Answer 2

Meine Aufgabe lautet Nullstellen von dieser Funktion zu berechnen:
f(x) = x³ + 30x - 1389

z.B. Newtonverfahren (Näherungsverfahren):

      andere Möglichkeit Cardano-Formel:

 https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#Die_Cardanische_Formel_zur_Aufl%C3%B6sung_der_reduzierten_Form_z%C2%B3_+_pz_+_q_=_0

Berechnen der Nullstellen von f(x)  (f muss differenzierbar sein)
Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel:

\(x_{neu}=x_{alt}-\frac{f(x_{alt})}{f'(x_{alt})} \)

Du weißt allerdings i.A. ohne weitere Betrachtung nicht, ob du alle NS gefunden hast.
Manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für x_alt zum Beispiel eine  Extremstelle erwischt). Dann hilft oft ein anderer Startwert.

Je besser der Startwert, desto weniger Rechnung:

Gruß Wolfgang

Comments

Das ist leider der umständlichste Weg!

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Deine geliebten Cardano-Formeln hatte ich oben auch erwähnt!

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Vietas Substituion sag ich nur!

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Guter Tipp! Bei deiner Wortwahl bei Kommentaren solltest du dir aber nicht hj2166 zum Vorbild nehmen!

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Haha, doch es hat sich gut angefühlt! muhahaha

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Werde mich bei Gelegenheit revanchieren :-)

Im Übrigen gilt der von mir beschriebene Weg nicht nur für reduzierte kubische Polynomfunktionen.

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Werde mich bei Gelegenheit revanchieren :-)

Dann muss ich jetzt  wohl doppelt vorsichtig sein.

Kubische Gleichung sind meine geheime Leidenschaft und ich freue mich jedes Mal, wenn ich dazu eine Frage beantworten kann.

Ich warte auf den Tag, wo hier ein Polynom vierten Grades der Form \(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\) eingestellt wird. Das kann man nämlich auch algebraisch lösen. :)

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Der Startwert x=10 liegt bei genauem Betrachten der Funktionsgleichung sehr nahe. Und ich wage zu behaupten, dass die 4 Zeilen NV dann weniger Rechnung sind als bei deiner Antwort.

Das ist leider der umständlichste Weg!

.ist deshalb nichts als Gelaber! 

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Wollen wir ein Wettrennen machen? Ich wette du verlierst mit Newtonverfahren, wenn du alles ausschreiben musst. Natürlich auf mind. 5 Nachkommstellen genau!

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Alles, was man aufschreiben muss, steht oben in der zweiten Tabelle.

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Handschriftlich! Ohne Excel.

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Mit normalem Taschenrechner (handschriftlich rechnen ist ja wohl bei deiner Rechnung ein schlechter Witz!)

Und bei deiner Antwort fehlt ja wohl auch für "genaues Hinschreiben" noch einiges.

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Ich finde, dass man das ganz gut handschriftlich Rechnen kann.

Ist deshalb nichts als Gelaber! 

Wenn du nicht wissen würdest, dass die Nullstelle in der Nähe von 10.265 liegt, dann würde man mit dem Newtonverfahren im Kreis laufen.

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Einigen wir uns doch einfach darauf: die Rechnung von GL geht am schnellsten

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Damit bin ich einverstanden!

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Wenn du nicht wissen würdest, dass die Nullstelle in der Nähe von 10.265 liegt, dann würde man mit dem Newtonverfahren im Kreis laufen.

Dummes Zeug!

10³ + 30 * 10 - 1398 = -98

drängt den Startwert x=10 geradezu auf!

Im Übrigen hast du bei der 3. Kommastelle einen Fehler :-)

Aber mir reichts jetzt auch!

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Du bist mir aber einer! Trotzdem habe ich recht!

Answer 3

substituiere $$x:=w-\frac{10}{w}$$

und erhalte $$w^3-\frac{1000}{w^3}-1389=0$$

multipliziere mit $$w^3:=u$$

und löse nun die quadratische Gleichung

$$u^2-1389u-1000=0$$

Comments

Du hast es auch verstanden! :D Noch ist es aber nicht ganz richtig.

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Na klar ist das richtig (aber nicht ganz vollständig, den Rest überlasse ich dem Leser ;) )

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Stimmt doch, du bist wohl ein Genie! Da hamm mers den Newtonverfahren aber gezeigt!

Answer 4

Substituiere \(x=w-\frac{p}{3w}\) und erhalte:$$w^3-\frac{30^3}{27w^3}-1389=0$$ Multipliziere mit \(w^3\) und erhalte:$$w^6-1389w^3-\frac{30^3}{27}=0$$ Nun musst du noch einmal \(w=\sqrt[3]{n}\) substituieren und erhältst eine Quadratische Gleichung:$$n^2-1389n-\frac{30^3}{27}=0$$ Ich erhalte für \(n_{1}\approx 1389.71957\) und \(n_2\approx -0.7195\) mit der PQ-Formel. Nun Rücksubstitution, in dem du die dritte Wurzel aus \(-0.72\) oder aus \(1389.71957\) ziehst. Ich mache es mit \(-0.72\) und erhalte \(w=-0.8963\). Das nun in die Anfangssubstitution einsetzen:$$x=-0.8963-\frac{30}{3\cdot (-0.8963)}≈ 10.261$$

Comments

. Natürlich auf mind. 5 Nachkommstellen genau!     (Deine Worte!)
...
Falsche Rundung nun verbessert!

In deiner Rechnung ja, der richtige Wert (auf lächerliche 3 Kommastellen!) ist allerdings 10,263 

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$$x=\sqrt[3]{-\frac{-1389}{2}-\sqrt{\left(\frac{1389}{2}\right)^2+1000}}-\frac{30}{3\cdot \sqrt[3]{-\frac{-1389}{2}-\sqrt{\left(\frac{1389}{2}\right)^2+1000}}}$$ Kannst du bei Wolfram eingeben, dann kannst du dir so viele Anzeigen lassen wie du willst. Mit dem Newton-Verfahren rechnen dann auch noch die Menschen im Jahr 3018, um 10000 Nachkommastellen zu erhalten.

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Dann kannst du auch gleich die Gleichung bei Wolfram eingeben :-)

Außerdem ist es lächerlich, ein Verfahren für sehr viele Arten von Funktionen mit dem für eine simple reduzierte Polynomfunktion 3. Grades überhaupt zu vergleichen.